Столкновение гантелек

Перейдите в систему отсчёта, где центр масс гантелек неподвижен. Чему равны скорости шариков, которые сталкиваются, и как меняется скорость конца гантельки при ударе по нему?

Гантельки пройдут друг сквозь друга: после столкновений они разлетятся с прежними скоростями \(\vec v_1\) и \(\vec v_2\), не вращаясь. Но в системе центра масс каждая задержится на время \(T=\pi l/(v_1+v_2)\) (\(l\) — длина гантельки) и отстанет на \(\pi l/2\) от того положения, где была бы при свободном полёте. Вращаются гантельки только в течение этой паузы.

Что происходит. Шарики соударяются поочерёдно: сначала нижний шарик левой гантельки сталкивается с верхним шариком правой, они обмениваются скоростями, и гантельки начинают вращаться. Через полоборота сталкиваются два других шарика, и вращение прекращается. Главная идея — удар по концу гантельки перпендикулярно её оси равносилен удару по шарику массы \(m\); упругое столкновение равных масс обменивает скорости, а моменты импульса и импульсы вычисляются из законов сохранения.

Обозначения. Пронумеруем шарики: у левой гантельки сверху вниз 1 и 2, у правой — 3 и 4 (рис. 12: шарики 2 и 3 на одном уровне). Масса шарика \(m\), длина гантельки \(l\), стержень невесом. Скорости до столкновения: \(v_1\) вправо у левой гантельки, \(v_2\) влево у правой. Перейдём в систему отсчёта центра масс системы: она движется со скоростью \(V_c=\dfrac{v_1-v_2}{2}\), в ней обе гантельки движутся навстречу с равными скоростями \(u=\dfrac{v_1+v_2}{2}\). До первого удара скорости всех шариков в этой системе — \(\pm u\) по горизонтали.

1. Эффективная масса конца гантельки. Пусть на шарик, например 2, горизонтально подействовал импульс \(J\) (направление: влево). Запишем закон изменения импульса гантельки и уравнение моментов импульса относительно её центра масс (момент инерции \(I=2m(l/2)^2=ml^2/2\)). Центр масс получает скорость \(\Delta V=J/(2m)\), гантелька — угловую скорость \(\Delta\omega=J\cdot\dfrac l2\Big/I=\dfrac{J}{ml}\). Скорость самого шарика 2 меняется на \[\Delta v_2=\frac{J}{2m}+\Delta\omega\cdot\frac l2=\frac{J}{2m}+\frac{J}{2m}=\frac Jm .\] Для удара по концу гантельки, направленного перпендикулярно её оси, шарик ведёт себя так, как будто он один имеет массу \(m\): гантелька как целое откликается точно так же. Поэтому столкновение шариков 2 и 3 есть столкновение двух тел одинаковой массы \(m\), летящих навстречу; оно упругое, значит они просто обмениваются скоростями.

2. Первый удар. До удара шарик 2 имеет скорость \(+u\), шарик 3 — \(-u\). После удара шарик 2 имеет \(-u\), шарик 3 — \(+u\). Изменение скорости шарика 2 равно \(-2u\), значит \(J=2mu\).

Центр масс левой гантельки получает \(\Delta V=-J/(2m)=-u\): его скорость становится \(u-u=0\); у правой гантельки скорость центра масс тоже \(-u+u=0\). Оба центра масс останавливаются, а гантельки вращаются с угловой скоростью (рис. а, б) \[\omega=\frac{J}{ml}=\frac{2u}{l}=\frac{v_1+v_2}{l}\] по часовой стрелке (импульс на шарик 2 приложен ниже центра, влево). Скорости шариков при этом остаются \(\pm u\): у шарика 1 по-прежнему \(+u\), у шарика 4 — \(-u\).

3. Что дальше. В момент первого удара стержни лежали на одной вертикали, центры масс остановились и стоят один над другим на расстоянии \(l\); обе гантельки вращаются с одной и той же угловой скоростью, стержни остаются параллельными. Пусть \(\theta=\omega t\) — угол поворота. Выберем начало координат в точке первого удара, ось \(y\) вверх: центры в точках \((0;\,l/2)\) и \((0;\,-l/2)\), шарик 1 в точке \(\bigl(\tfrac l2\sin\theta;\ \tfrac l2+\tfrac l2\cos\theta\bigr)\), шарик 4 в точке \(\bigl(-\tfrac l2\sin\theta;\ -\tfrac l2-\tfrac l2\cos\theta\bigr)\) (шарики 2 и 3 противоположны им). Приравнивая координаты любых двух шариков разных гантелек, находим, что они совпадают лишь при \(\theta=0\) (первый удар) и при \(\theta=\pi\), когда встречаются шарики 1 и 4 в начале координат (рис. г): шарик 1 внизу своей окружности движется влево со скоростью \(u\), шарик 4 вверху своей — вправо со скоростью \(u\), — они сталкиваются лоб в лоб. Между ударами проходит время \[T=\frac{\pi}{\omega}=\frac{\pi l}{2u}=\frac{\pi l}{v_1+v_2}.\]

4. Второй удар. По тому же рассуждению (удар перпендикулярен стержню, эффективные массы \(m\)) шарики 1 и 4 обмениваются скоростями. Для левой гантельки импульс \(J=2mu\) направлен вправо, скорость центра масс получает \(+u\), а угловая скорость \(-2u/l\) гасится импульсом (момент относительно центра противоположного знака), и вращение останавливается. Для правой гантельки то же с обратным знаком: центр масс получает \(-u\), вращения нет. В системе центра масс гантельки снова движутся поступательно: левая вправо, правая влево, с теми же скоростями \(u\), но уже разойдясь (рис. д).

5. Возвращаемся в исходную систему. Прибавляем \(V_c\): левая гантелька движется со скоростью \(u+V_c=v_1\), правая — со скоростью \(-u+V_c=-v_2\). Значит, после двух ударов обе гантельки летят с прежними скоростями, не вращаясь, и каждая повёрнута на \(180^\circ\) (для одинаковых шариков это не отличить). Пока гантельки вращались, их центры в системе центра масс стояли время \(T\); при свободном пролёте каждый прошёл бы за это время \(uT=\dfrac{\pi l}{2}\). Поэтому каждая гантелька оказывается позади «свободного» положения на \(\pi l/2\) вдоль своего движения.

Обратите внимание: гантельки не отскакивают друг от друга, как два шара, а проходят насквозь: этого не получилось бы без второго удара, который «возвращает» им поступательное движение и гасит вращение.

Ответ: гантельки продолжают двигаться с прежними скоростями \(\vec v_1\), \(\vec v_2\) без вращения, лишь отстав на \(\pi l/2\) (в системе центра масс) за время вращения \(T=\pi l/(v_1+v_2)\).

Проверка. Энергия в системе центра масс: до первого удара четыре шарика со скоростью \(u\) дают \(4\cdot\dfrac{mu^2}{2}=2mu^2\); после него центры стоят, и энергия вращательная: \(2\cdot\dfrac{I\omega^2}{2}=2\cdot\dfrac12\cdot\dfrac{ml^2}{2}\cdot\dfrac{4u^2}{l^2}=2mu^2\) — совпало, как и должно быть при упругом ударе. Суммарный импульс в этой системе равен нулю и до удара, и во время вращения (центры стоят), и после второго удара (центры движутся в противоположные стороны с равными скоростями).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.