Две коробки

Выразите изменение скорости пули при прохождении одной коробки через путь в ней. Зависит ли оно от той скорости, с которой пуля вошла?

Одинаково далеко: скорость вылета из обеих коробок не зависит от порядка (если сила сопротивления в каждой среде пропорциональна скорости и пуля пробивает обе коробки).

Что происходит. Нужно сравнить конечные скорости пули для двух порядков коробок; дальше пуля летит в воздухе, и чем больше скорость вылета, тем дальше. Силу сопротивления в обеих средах примем пропорциональной скорости (так принимают авторы книги): \(F=-\alpha v\), где \(\alpha\) своя для каждой среды, \(\alpha_1\) — для воды, \(\alpha_2\) — для меди. Коробки считаем неподвижными, длину пути пули в каждой — одинаковой, равной \(l\), а массу \(m\) пули — постоянной.

1. Изменение скорости на малом пути. Второй закон Ньютона для пули в проекции на направление полёта за малый промежуток \(dt\): \[m\,dv=-\alpha v\,dt .\] За время \(dt\) пуля проходит путь \(dx=v\,dt\), так что \(m\,dv=-\alpha\,dx\).

2. Изменение скорости на всём пути в коробке. Просуммируем по пути от входа в коробку до выхода (в левой части складываются все \(dv\), в правой — все \(dx\), дающие длину \(l\)): \[m\,\Delta v=-\alpha l\quad\Longrightarrow\quad \Delta v=-\frac{\alpha l}{m}.\] Это изменение скорости не зависит от самой скорости: на графике \(v(x)\) участок в каждой среде — прямая с наклоном \(-\alpha/m\).

3. Две коробки. Скорость падает на \(\alpha_1l/m\) в воде и на \(\alpha_2l/m\) в меди, в каком бы порядке пуля ни проходила, поэтому \[v_{\text{кон}}=v_0-\frac{(\alpha_1+\alpha_2)\,l}{m}\] в обоих случаях (при условии, что скорость остаётся положительной: пуля пробивает обе коробки).

Обратите внимание: ответ держится на том, что в обеих средах сопротивление подчиняется одному закону \(F=-\alpha v\) и различается только коэффициентом. Если бы, например, в меди сила была постоянной, а в воде росла со скоростью, порядок коробок уже имел бы значение.

Ответ: пуля пролетит одинаково далеко в обоих случаях.

Проверка. Размерность \(\alpha l/m\): \(\alpha v\) — сила, поэтому \(\alpha\) — кг/с, \(\alpha l/m\) — м/с, как у скорости. При \(\alpha_1=\alpha_2\) порядок не мог бы иметь значения — и в формуле он не входит.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.