Торможение модели корабля

Сила меняется вместе со скоростью, поэтому формулы равноускоренного движения не годятся. Запишите изменение импульса за малое время \(dt\) и заметьте, что \(v\,dt\) — это пройденный путь.

а) \(s_1=\dfrac{mv_0}{2k}=5\text{ м}\);  б) \(s_2=\dfrac{mv_0}{k}=10\text{ м}\).

Что происходит. Сила сопротивления пропорциональна скорости, поэтому по мере торможения она убывает и ускорение не постоянно: формулы равноускоренного движения не работают. Главная идея: за малый промежуток \(dt\) изменение импульса модели равно импульсу силы, а импульс силы \(kv\,dt\) выражается через пройденный путь \(dx=v\,dt\).

Обозначения. Ось \(x\) направлена вдоль скорости, начало — в точке толчка. \(v\) — скорость модели, когда она прошла путь \(x\).

1. Малый промежуток. Запишем второй закон Ньютона для модели в проекции на ось \(x\) за малый промежуток времени \(dt\), в течение которого силу можно считать постоянной: \[m\,dv=-kv\,dt .\] За это время модель проходит \(dx=v\,dt\), поэтому \[m\,dv=-k\,dx .\]

2. Суммирование. Коэффициенты \(m\) и \(k\) постоянны, поэтому можно просуммировать обе части от начала движения (скорость \(v_0\), путь \(0\)) до момента, когда пройден путь \(x\) и скорость равна \(v\): \[m\,(v-v_0)=-k\,x,\qquad x=\frac{m}{k}\,(v_0-v).\] Скорость убывает с пройденным путём линейно.

Пункт а. Скорость уменьшилась вдвое: \(v=v_0/2\). Тогда \[s_1=\frac{m}{k}\cdot\frac{v_0}{2}=\frac{mv_0}{2k}=\frac{0{,}5\cdot10}{2\cdot0{,}5}\text{ м}=5\text{ м}.\]

Пункт б. Модель остановилась: \(v=0\). Тогда \[s_2=\frac{mv_0}{k}=\frac{0{,}5\cdot10}{0{,}5}\text{ м}=10\text{ м}.\]

Обратите внимание: до остановки модель идёт бесконечно долго — чем медленнее она движется, тем слабее тормозит сила, и скорость стремится к нулю по закону \(v=v_0e^{-kt/m}\). Но путь при этом конечен: \(10\) м.

Ответ. а) \(s_1=\dfrac{mv_0}{2k}=5\text{ м}\);  б) \(s_2=\dfrac{mv_0}{k}=10\text{ м}\).

Проверка. Размерность: \(\dfrac{mv_0}{k}=\dfrac{\text{кг}\cdot\text{м/с}}{\text{кг/с}}=\text{м}\). Второй способ: из \(v=v_0e^{-kt/m}\) путь до остановки \(\int_0^\infty v\,dt=v_0\cdot\dfrac{m}{k}\) — тот же результат. Физический смысл: \(m/k=1\) с — время, за которое скорость уменьшилась бы в \(e\) раз, а путь до остановки равен тому, что модель прошла бы за это время при неизменной начальной скорости.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.