Включение лампы в сеть

КПД — отношение мощности лампы ко всей мощности, взятой от сети. Лампа горит нормально в обеих схемах, поэтому её мощность одна и та же; сравните токи, которые течут через сеть.

Выше КПД у схемы а): \(\eta_a=\dfrac{U_{\text{л}}}{U}\), а в схеме б) \(\eta_{\text{б}}=\dfrac{\eta_a}{1+r/R_2}<\eta_a\).

Что происходит. КПД схемы — отношение мощности, которая выделяется в лампе, к мощности, которую схема берёт от сети. Лампа горит нормально в обеих схемах: напряжение на ней \(U_{\text{л}}\), ток \(I_{\text{л}}\) и мощность \(P_{\text{л}}=U_{\text{л}}I_{\text{л}}\) одни и те же. Различается то, сколько тока течёт через сеть: в схеме а) весь ток сети проходит через лампу, в схеме б) к нему добавляется ток через вторую часть реостата.

Обозначения. \(U\) — напряжение сети (\(U>U_{\text{л}}\)), \(r=U_{\text{л}}/I_{\text{л}}\) — сопротивление лампы при нормальном горении, \(R_1\) — сопротивление участка \(AB\) реостата, \(R_2\) — участка \(CB\) в схеме б), \(I_2\) — ток через \(CB\). Внутренним сопротивлением сети пренебрегаем.

1. Схема а). Конец \(C\) реостата никуда не подключён, поэтому ток течёт только через участок \(AB\) и лампу, соединённые последовательно; эквивалентная схема показана на рисунке. Ток сети равен току лампы \(I_{\text{л}}\), мощность сети \(P_a=UI_{\text{л}}\): \[\eta_a=\frac{U_{\text{л}}I_{\text{л}}}{UI_{\text{л}}}=\frac{U_{\text{л}}}{U}.\] Избыток напряжения \(U-U_{\text{л}}\) падает на участке \(AB\), и вся мощность, которую он выделяет, потеряна.

2. Схема б). Теперь лампа подключена параллельно участку \(CB\), а участок \(AB\) соединён с этой парой последовательно. Закон сохранения заряда для узла \(B\): ток через \(AB\) (он же ток сети) разветвляется на ток лампы и ток через \(CB\), \[I=I_{\text{л}}+I_2 .\] Участок \(CB\) параллелен лампе, напряжение на нём то же, \(U_{\text{л}}\), поэтому \(I_2=U_{\text{л}}/R_2\). Мощность сети \(P_{\text{б}}=UI=U(I_{\text{л}}+I_2)\): \[\eta_{\text{б}}=\frac{U_{\text{л}}I_{\text{л}}}{U\,(I_{\text{л}}+I_2)}=\frac{U_{\text{л}}}{U}\cdot\frac{1}{1+I_2/I_{\text{л}}}=\frac{\eta_a}{1+r/R_2}.\] Здесь \(I_2/I_{\text{л}}=\dfrac{U_{\text{л}}/R_2}{U_{\text{л}}/r}=\dfrac{r}{R_2}\).

3. Сравнение. Так как \(r/R_2>0\), получаем \(\eta_{\text{б}}<\eta_a\): в схеме б) через сеть идёт ток, больший тока лампы, а полезная мощность та же.

Обратите внимание: в схеме б) ток через \(CB\) ничего не даёт лампе — он только нагревает реостат; именно поэтому схема-потенциометр экономически хуже, хотя позволяет менять напряжение на лампе от нуля.

Ответ. Выше КПД у схемы а): \(\eta_a=\dfrac{U_{\text{л}}}{U}\), тогда как \(\eta_{\text{б}}=\dfrac{U_{\text{л}}}{U}\cdot\dfrac{1}{1+r/R_2}<\eta_a\). Пример: сеть \(12\text{ В}\), лампа на \(6\text{ В}\) и \(0{,}5\text{ А}\) (\(r=12\text{ Ом}\)), \(R_2=12\text{ Ом}\): \(\eta_a=50\%\), \(\eta_{\text{б}}=25\%\).

Проверка. Оба КПД безразмерны и меньше единицы. Предел \(R_2\to\infty\) (участок \(CB\) отключён): \(I_2\to0\), \(\eta_{\text{б}}\to\eta_a\) — схема б) превращается в схему а). Числа по прямому счёту: в схеме а) ток \(0{,}5\text{ А}\), \(P=12\cdot0{,}5=6\text{ Вт}\), лампа берёт \(3\text{ Вт}\) — \(50\%\); в схеме б) ток сети \(1\text{ А}\) (\(0{,}5+0{,}5\)), \(P=12\text{ Вт}\) — \(25\%\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.