Доска выскальзывает из-под бруска

Пока брусок скользит по доске, их скорости выравниваются. Доска выскользнет, если до выравнивания брусок успеет сместиться относительно доски на \(L\). Сколько тепла выделит трение на этом относительном пути?

\(v_0>\sqrt{2\mu gL\left(1+\dfrac{m}{M}\right)}\).

Что происходит. После толчка доска едет со скоростью \(v_0\), брусок покоится. Трение скольжения разгоняет брусок вперёд и тормозит доску, так что брусок движется назад относительно доски — от её переднего конца к заднему. Скорости выравниваются; после этого трения нет, и брусок едет вместе с доской. Значит, доска выскользнет только тогда, когда брусок успеет сместиться на длину \(L\) до выравнивания скоростей. Граничный случай: брусок достигает другого края доски в тот самый момент, когда скорости сравнялись.

Обозначения. Ось \(x\) — по направлению \(v_0\). \(u\) — общая скорость бруска и доски в конце скольжения, \(t_1\) — момент выравнивания, \(s_M\), \(s_m\) — перемещения доски и бруска относительно земли за время \(t_1\).

1. Закон сохранения импульса. Рассмотрим систему «доска + брусок» за время от толчка до выравнивания скоростей. Внешние силы в горизонтальном направлении отсутствуют (пол гладкий, трение между доской и бруском — внутренняя сила), поэтому \[Mv_0=(M+m)\,u,\qquad u=\frac{M}{M+m}\,v_0 .\]

2. Энергия и тепло. Трение скольжения на бруске равно \(\mu mg\) (по вертикали ускорения нет, \(N=mg\)). Убыль механической энергии системы равна работе силы трения на пути относительного скольжения; в граничном случае этот путь равен \(L\): \[\mu mgL=\frac{Mv_0^2}{2}-\frac{(M+m)\,u^2}{2}.\]

3. Ответ. Подставим \(u\) из первого уравнения: \[\mu mgL=\frac{Mv_0^2}{2}\left(1-\frac{M}{M+m}\right)=\frac{Mm\,v_0^2}{2(M+m)},\qquad v_0^2=2\mu gL\,\frac{M+m}{M}.\] Чем больше \(v_0\), тем больший путь успевает пройти брусок относительно доски, поэтому доска выскользнет при \[v_0>\sqrt{2\mu gL\left(1+\frac{m}{M}\right)} .\]

Второй способ. Ускорения найдём по второму закону Ньютона для каждого тела: брусок разгоняется с \(a_1=\mu g\), доска тормозится с \(a_2=\mu mg/M\). Относительная скорость бруска и доски равна \(v_0\) в начале и \(0\) при выравнивании; она убывает с постоянным ускорением \(a_1+a_2=\mu g\,(1+m/M)\). Относительный путь \(v_0^2\big/\bigl(2\mu g\,(1+m/M)\bigr)\) приравняем к \(L\) — тот же результат. На графике (для \(M=2m\)) площадь между линиями скоростей равна именно этому относительному пути, то есть \(L\).

Обратите внимание: в тепло переходит \(F_{\text{тр}}\), умноженная на путь относительного скольжения, а не на путь бруска или доски по полу: пути относительно земли равны \(s_M\) и \(s_m\), и только их разность равна \(L\).

Обратите внимание: \(v_0\) — наименьшая скорость; при ней брусок останавливается относительно доски у самого края. Размер бруска не учитываем: \(L\) — путь, который проходит по доске сам брусок.

Ответ. \(v_0>\sqrt{2\mu gL\left(1+\dfrac{m}{M}\right)}\).

Проверка. Размерность: \(\mu gL\) — \(\text{м}^2/\text{с}^2\). Предел \(M\to\infty\) (доска не тормозится): \(v_0=\sqrt{2\mu gL}\) — в системе доски брусок начинает со скоростью \(v_0\) и тормозится с ускорением \(\mu g\) на пути \(L\). Предел \(m\to0\) даёт то же, как и должно быть: лёгкий брусок на доску не влияет.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.