Гравитационные волны

Двойная система излучает сильнее всего, когда чёрные дыры вот-вот сольются: расстояние между ними порядка суммы их радиусов Шварцшильда. Фронт волны — тонкая сферическая оболочка, несущая энергию \(u\,\mathrm dV\) за время \(\mathrm dt\).

1) \(P_{\max}=\dfrac1{80}\dfrac{c^5}{G}\approx4{,}5\cdot10^{50}\) Вт;  2) \(u=\dfrac12E\varepsilon^2\);  3) \(E=\dfrac{c^2}{G}f^2\);  4) \(z=\dfrac{1}{\sqrt{160\pi}}\dfrac{c}{\varepsilon f}\).

i) На этом расстоянии чёрные дыры сливаются: \[r_{\min}=r_{s1}+r_{s2}=\frac{2G(m_1+m_2)}{c^2}.\] Подставляя \(r\) в формулу мощности, получаем максимальную мощность для системы с массами \(m_1\) и \(m_2\): \[P_{\max}(m_1,m_2)=\frac15\,\frac{c^5}{G}\,\frac{(m_1m_2)^2}{(m_1+m_2)^4}.\] Рассмотрим теперь влияние масс. Определим \(a:=\dfrac{(m_1m_2)^2}{(m_1+m_2)^4}\). Интуиция подсказывает, что большая система должна излучать больше мощности, и для максимума массы должны стремиться к бесконечности. Однако предел \(\lim\limits_{m_1=m_2\to\infty}a=1\) говорит об обратном. То же показывает и анализ размерностей: размерность \([a]=\dfrac{(M\cdot M)^2}{M^4}=1\) означает, что абсолютные значения масс в уравнение не входят. Это интуитивно объясняется пропорциональным ростом радиусов Шварцшильда.

Однако распределение масс важно, так как \(a\) также не одинаково для всех \(m_1\), \(m_2\). Найдём его максимальное значение. Выразим его через полную массу \(M:=m_1+m_2\) и распределение масс \(k:=\dfrac{m_1}{M}\). Тогда \(m_1=kM\), \(m_2=(1-k)M\), \[a=\frac{(m_1m_2)^2}{(m_1+m_2)^4}=\frac{\bigl(kM(k-1)M\bigr)^2}{M^4}=[k(k-1)]^2,\] \[\frac{\mathrm d}{\mathrm dk}[k(k-1)]^2=0\iff k=\frac12\iff m_1=m_2\ \Rightarrow\ a_{\max}=\left[\frac12\Bigl(1-\frac12\Bigr)\right]^2=\frac1{16}.\] Итак, окончательно \[P_{\max}=\frac15\,\frac{c^5}{G}\,\frac1{16}=\frac1{80}\,\frac{c^5}{G}=4{,}5\times10^{50}\text{ Вт}.\] Интересно, что пиковая мощность, излучаемая в гравитационных волнах любой сливающейся двойной системой, будет одной и той же. Величину \(\dfrac{c^5}{G}\) также называют светимостью Вселенной.

ii) \(U=\dfrac12k\,\Delta\ell^2\) — энергия, запасённая в равномерно деформированном теле: \[k=\frac{F}{\Delta\ell},\qquad F=\sigma S,\qquad \Delta\ell=\varepsilon\ell,\qquad \sigma=\varepsilon E,\] \[u=\frac UV,\ \text{где }V=S\ell\text{ --- объём}\quad\Rightarrow\quad u=\frac U{V}=\frac12E\varepsilon^2 .\]

iii) Размерности: \([G]=L^3M^{-1}T^{-2}\) (например, из \(F=\dfrac{GMm}{r^2}\)), \([c]=LT^{-1}\), \([f]=T^{-1}\), \([E]=ML^{-1}T^{-2}\) (например, из \(\sigma=\varepsilon E\)). Пусть \(E=G^\alpha c^\beta f^\gamma\). Решая для каждой размерности, получаем \[M:\ 1=-\alpha\ \Rightarrow\ \alpha=-1;\qquad L:\ -1=3\alpha+\beta\ \Rightarrow\ \beta=2;\qquad T:\ -2=-2\alpha-\beta-\gamma\ \Rightarrow\ \gamma=2,\] \[\Rightarrow\ E=\frac{c^2}{G}\,f^2 .\]

iv) Гравитационная волна распространяется как сферическая волна с центром в источнике. Её фронт занимает тонкую сферическую оболочку с площадью поверхности \(S=4\pi z^2\), а связанный с ней бесконечно малый объём равен \(\mathrm dV=S\,\mathrm dz\), где \(\mathrm dz=c\,\mathrm dt\) для волны, движущейся со скоростью света \(c\). Мощность \(P\) и плотность энергии \(u\) на расстоянии \(z\) связаны через \(\mathrm dE=P\,\mathrm dt=u\,\mathrm dV\iff z=\sqrt{\dfrac{P}{4\pi uc}}\). Используя модели из \[P=\frac1{80}\frac{c^5}{G},\qquad u=\frac UV=\frac12E\varepsilon^2,\qquad E=\frac{c^2}{G}f^2,\] окончательно получаем \[z=\frac{1}{\sqrt{160\pi}}\,\frac{c}{\varepsilon f}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.