Пять оценок

Подсказка

Во всех пяти частях ответ получается из одной-двух формул и подстановки чисел: дифракционный предел \(\Delta x\sim\lambda F\#\) против размера пикселя; тепло, пришедшее через поверхность яйца за время \(\tau\), против энергии нагрева; площадь под кривой тока; параллельное соединение сопротивлений; равновесие слоя воздуха плюс адиабата.

Ответ

3.1) \(\Delta x=1{,}22\,\lambda F\#=1{,}22\) мкм (при \(F\#=2\));  3.2) \(N=(L/\Delta x)^{2}\approx823\) Мпикс;  3.3) \(F\#=11\);  3.4) \(z\approx15\) см;  3.5) \(U\approx1{,}7\cdot10^{4}\) Дж;  3.6) \(J\approx2{,}5\cdot10^{3}~\text{Вт}/\text{м}^{2}\) (при \(T_1=100~^\circ\)C);  3.7) \(P\approx19\) Вт;  3.8) \(\tau\approx870~\text{с}\approx14{,}5\) мин;  3.9) \(Q=5\) Кл;  3.10) \(I=50\) кА;  3.11) \(t\approx10\) ч;  3.12) \(N\approx4{,}5\cdot10^{9}\);  3.13) \(v\approx0{,}44\) мм/с;  3.14) \(\dfrac{dT}{T}=\Bigl(1-\dfrac1\gamma\Bigr)\dfrac{dp}{p}\);  3.15) \(dp=-\dfrac{mg}{k}\dfrac pT\,dz\);  3.16) \(T_{\mathrm{top}}\approx20{,}6~^\circ\)C.

Решение

Что происходит. Пять независимых оценок. В каждой выделяем главный эффект и ограничиваемся им: в камере — дифракция на отверстии объектива против размера пикселя; в яйце — прогрев теплопроводностью через поверхность; в молнии — площадь под кривой тока и энергия конденсатора; в капиллярах — параллельное соединение одинаковых сопротивлений; в небоскрёбе — равновесие слоя воздуха плюс адиабата.

Точность. В ответах оставляем две-три значащие цифры: данные заданы с такой точностью, а модели грубые.

Цифровая камера.

3.1. Два фактора ограничивают разрешение: дифракция на отверстии объектива и размер пикселя. Сначала дифракция. Круглое отверстие диаметром \(D\) не даёт точечного изображения точки: свет сходится в пятно Эйри. По критерию Рэлея две точки различимы, если центр пятна одной приходится на первый минимум пятна другой (рис. 2); для круглого отверстия это угловое расстояние между источниками \[\theta_R=1{,}22\,\frac{\lambda}{D}\] (множитель \(1{,}22\) связан с круглой формой отверстия).

Объект далеко, поэтому изображение лежит в фокальной плоскости, где и стоит матрица. Два источника под углом \(\theta_R\) друг к другу дают пятна в фокальной плоскости на расстоянии \(f\theta_R\) (рис. 3). Это наименьшее различимое расстояние: \[\Delta x=f\theta_R=1{,}22\,\frac{\lambda f}{D}=1{,}22\,\lambda F\# .\]

Рис. 2. Критерий Рэлея: пятна Эйри двух точечных источников, центр одного лежит на первом минимуме другого; сумма интенсивностей в середине даёт провал примерно до \(0{,}74\) от максимума.

Рис. 3. Два параллельных пучка от далёких точек, направления которых различаются на угол \(\theta_R\), собираются объективом диаметром \(D\) в точки фокальной плоскости на расстоянии \(\Delta x=f\theta_R\). Угол показан увеличенным.

Наилучшее разрешение — при наименьшем диафрагменном числе (наибольшем отверстии) \(F\#=2\). Для \(\lambda=500\) нм \[\boxed{\,\Delta x_{\min}=1{,}22\,\lambda F\#=1{,}22\cdot500~\text{нм}\cdot2\approx1{,}22~\text{мкм}\,}.\]

3.2. Теперь размер пикселя. Матрица квадратная, на её стороне \(L\) укладывается \(\sqrt{N}\) пикселей, поэтому расстояние между центрами соседних пикселей \[\ell=\frac{L}{\sqrt N}.\] Для \(N_p=5\) Мпикс получаем \(\ell=35~\text{мм}/\sqrt{5\cdot10^{6}}=15{,}65\) мкм. Это намного больше \(1{,}22\) мкм: пиксели крупнее оптического разрешения, и оптика обеспечивает запас.

Чтобы пиксель был не крупнее оптического разрешения, нужно \(\ell=\Delta x_{\min}\), то есть \[\boxed{\,N=\Bigl(\frac{L}{\Delta x_{\min}}\Bigr)^{2}=\Bigl(\frac{35~\text{мм}}{1{,}22~\text{мкм}}\Bigr)^{2}\approx8{,}2\cdot10^{8}\approx823~\text{Мпикс}\,}.\] Здесь \(N\) — число пикселей, а не линейный размер, поэтому отношение возводится в квадрат: пиксели расположены по двум сторонам матрицы.

3.3. Теперь камера с \(N_0=16\) Мпикс: шаг пикселей \(\ell_0=L/\sqrt{N_0}=35~\text{мм}/4000=8{,}75\) мкм. Качество не ограничивается оптикой, если пятно дифракции не крупнее пикселя, \(\Delta x\le\ell_0\): \[1{,}22\,\lambda F\#\le\frac{L}{\sqrt{N_0}} \quad\Rightarrow\quad F\#\le F_0=\frac{L}{1{,}22\,\lambda\sqrt{N_0}}=2\sqrt{\frac{N}{N_0}}=2\sqrt{\frac{823}{16}}\approx14{,}3 .\] Диафрагменные числа берут только из ряда (2; 2,8; 4; 5,6; 8; 11; 16; 22). Число \(16\) уже больше \(14{,}3\): пятно дифракции было бы крупнее пикселя (рис. 4). Берём наибольшее допустимое значение, то есть наименьшее отверстие, при котором оптика не ограничивает: \[\boxed{\,F\#=11\,}.\]

Рис. 4. Размер дифракционного пятна \(\Delta x=1{,}22\,\lambda F\#\) при \(\lambda=500\) нм (точки — значения \(F\#\) из ряда на объективе) и шаг пикселей \(\ell_0=8{,}75\) мкм камеры в 16 Мпикс. Закрашена область, где оптика лучше пикселя: \(F\#\le14{,}3\).

3.4. Расстояние между соседними точками отпечатка при 300 dpi \[\ell=\frac{25{,}4~\text{мм}}{300}=84{,}7~\text{мкм}.\] Глаз видит их под углом \(\ell/z\) (угол мал, \(\tan\varphi\approx\varphi\); рис. 5). Точки не различимы, если этот угол не больше углового разрешения глаза \(\varphi=2~\text{угл.\,мин}=2\cdot2{,}91\cdot10^{-4}=5{,}82\cdot10^{-4}\) рад: \[\frac{\ell}{z}\le\varphi \quad\Rightarrow\quad \boxed{\,z\ge\frac{\ell}{\varphi}=\frac{8{,}47\cdot10^{-5}~\text{м}}{5{,}82\cdot10^{-4}}\approx0{,}145~\text{м}\approx15~\text{см}\,}.\]

Рис. 5. Две соседние точки отпечатка на расстоянии \(\ell\) видны глазом с расстояния \(z\) под углом \(\varphi=\ell/z\) (угол на рисунке сильно увеличен).

Проверка: размерность \(\ell/\varphi\) — метры (угол безразмерен). Предел: чем крупнее точки, тем дальше нужно отодвинуть отпечаток; чем острее глаз, тем ближе его можно поднести. Для печати 300 dpi с расстояния обычного чтения (20–30 см) точки действительно не видны.

Сваренное вкрутую яйцо.

3.5. Яйцо сварено вкрутую, когда весь белок, вплоть до центра, достиг температуры коагуляции \(T_{\mathrm c}\). Начальная температура всюду \(T_0=4~^\circ\)C, значит, каждый кусочек яйца нужно нагреть на \[\Delta T=T_{\mathrm c}-T_0=61~\text{К}.\] Минимальная энергия — та, что идёт на нагрев всей массы яйца на \(\Delta T\) (теплоёмкость яйца принимаем постоянной): \(U=\mu V C\,\Delta T\), где объём шара \(V=\dfrac{4\pi R^{3}}{3}\). Обратите внимание на единицы: \(C=4{,}2~\text{Дж}/(\text{К}\cdot\text{г})=4200~\text{Дж}/(\text{К}\cdot\text{кг})\), а плотность дана в кг/м\(^{3}\). Подставляем: \[V=\frac{4\pi(0{,}025)^{3}}{3}=6{,}54\cdot10^{-5}~\text{м}^{3},\qquad \boxed{\,U=\mu\,\frac{4\pi R^{3}}{3}\,C\,(T_{\mathrm c}-T_0)=10^{3}\cdot6{,}54\cdot10^{-5}\cdot4200\cdot61\approx1{,}7\cdot10^{4}~\text{Дж}\,}.\]

3.6. Тепло идёт через поверхность яйца от кипящей воды. Числом \(T_1\) в условии не задана; принимаем \(T_1=100~^\circ\)C — вода кипит при нормальном атмосферном давлении (так же считают и организаторы). Оценим поток по закону Фурье в упрощённой форме \(J=\kappa\,\Delta T/\Delta r\). Характерный масштаб длины — радиус яйца, \(\Delta r=R\); в начале варки центр яйца остаётся при \(T_0\), поэтому соответствующая разность температур — от кипящей воды до холодного центра, \(\Delta T=T_1-T_0=96\) К (рис. 6, справа): \[\boxed{\,J=\frac{\kappa(T_1-T_0)}{R}=\frac{0{,}64\cdot96}{0{,}025}\approx2{,}5\cdot10^{3}~\text{Вт}/\text{м}^{2}\,}.\]

Рис. 6. Слева: разрез яйца, тепловой поток \(J\) идёт внутрь через поверхность. Справа: оценка профиля температуры — прямая от \(T_0\) в центре до \(T_1\) на поверхности; белок сворачивается там, где температура достигла \(T_{\mathrm c}\).

3.7. Тепло входит через всю поверхность яйца площадью \(4\pi R^{2}\): \[\boxed{\,P=4\pi R^{2}J=4\pi\kappa R(T_1-T_0)=4\pi\cdot0{,}64\cdot0{,}025\cdot96\approx19~\text{Вт}\,}.\]

3.8. Время варки — время, за которое через поверхность поступит энергия \(U\) из 3.5, если мощность постоянна и равна \(P\): \[\boxed{\,\tau=\frac{U}{P}=\frac{\mu CR^{2}}{3\kappa}\,\frac{T_{\mathrm c}-T_0}{T_1-T_0}=\frac{1{,}68\cdot10^{4}}{19{,}3}\approx870~\text{с}\approx14{,}5~\text{мин}\,}.\] Проверка: размерность \(\mu CR^{2}/\kappa=\dfrac{\text{кг}}{\text{м}^{3}}\cdot\dfrac{\text{Дж}}{\text{К}\cdot\text{кг}}\cdot\text{м}^{2}\cdot\dfrac{\text{К}\cdot\text{м}}{\text{Вт}}=\dfrac{\text{Дж}}{\text{Вт}}\) — секунды. Время растёт как \(R^{2}\) (больше яйцо — дольше варить), как и положено для теплопроводности; порядок десяти минут совпадает с опытом. Мы считали мощность постоянной; на деле в начале варки поток больше (у поверхности температура меняется круче, чем на масштабе \(R\)), а к концу меньше. Точное решение уравнения теплопроводности для шара с температурой поверхности \(T_1\) даёт, что центр достигает \(T_{\mathrm c}\) примерно через \(700\) с \(\approx12\) мин, — оценка верна по порядку.

Молния.

3.9. Ток — заряд в единицу времени, значит, полный заряд — площадь под кривой тока \(I(t)\) (рис. 7). Кривая — треугольник с основанием \(\tau\) и высотой \(I_{\max}\): \[\boxed{\,Q=\frac{I_{\max}\tau}{2}=\frac{100\cdot10^{3}~\text{А}\cdot10^{-4}~\text{с}}{2}=5~\text{Кл}\,}.\] Положение пика внутри \(\tau\) ответ не меняет: площадь треугольника зависит только от основания и высоты.

3.10. Средний ток — заряд, делённый на время: \[\boxed{\,I=\frac{Q}{\tau}=\frac{I_{\max}}{2}=50~\text{кА}\,}.\] Это половина максимального тока: прямоугольник высотой \(I_{\max}/2\) и шириной \(\tau\) имеет ту же площадь, что треугольник (рис. 7).

Рис. 7. Заряд \(Q\), прошедший за время \(\tau\), равен площади под кривой тока; та же площадь у прямоугольника высотой \(I_{\max}/2\).

3.11. Энергия одной молнии. В условии нижняя часть облака заряжена положительно, а земля — отрицательно; в официальном решении знаки названы наоборот, и так на самом деле бывает чаще: низ грозового облака обычно заряжен отрицательно, земля под ним — положительно. Для оценки знаки не важны: энергия \(QE_0h/2\) зависит только от модуля заряда. Облако и земля заряжены разноимённо и расположены на расстоянии \(h=1\) км, много меньшем размеров облака; это похоже на огромный плоский конденсатор (рис. 8). Перед разрядом поле в нём равно пробивному, \(E_0\), значит, напряжение между облаком и землёй \[U_0=E_0h=3\cdot10^{5}~\text{В}/\text{м}\cdot10^{3}~\text{м}=3\cdot10^{8}~\text{В}.\] Молния уносит заряд \(Q\) и разряжает этот конденсатор. Энергия заряженного конденсатора — \(QU_0/2\); её и выделяет молния. Обратите внимание: множитель \(1/2\) — потому что напряжение в ходе разряда падает от \(U_0\) до нуля, а не остаётся равным \(U_0\). Тогда \[W_1=\frac{QE_0h}{2}=\frac{5~\text{Кл}\cdot3\cdot10^{8}~\text{В}}{2}=7{,}5\cdot10^{8}~\text{Дж}.\]

Рис. 8. Нижняя часть облака и земля как обкладки плоского конденсатора, расстояние между ними \(h\), поле \(E_0\) в момент пробоя; знаки зарядов — как в условии.

За год в Землю бьёт \(32\cdot10^{6}\) молний, их суммарная энергия \(W=32\cdot10^{6}\,W_1\). Делим поровну между \(6{,}5\cdot10^{9}\) человек: на каждого \[W_{\text{чел}}=\frac{32\cdot10^{6}}{6{,}5\cdot10^{9}}\cdot7{,}5\cdot10^{8}~\text{Дж}\approx3{,}7\cdot10^{6}~\text{Дж}.\] Лампочка мощностью \(P_{\text{л}}=100\) Вт будет гореть \[\boxed{\,t=\frac{W_{\text{чел}}}{P_{\text{л}}}=\frac{32\cdot10^{6}}{6{,}5\cdot10^{9}}\cdot\frac{7{,}5\cdot10^{8}~\text{Дж}}{100~\text{Вт}}\approx3{,}7\cdot10^{4}~\text{с}\approx10~\text{ч}\,}.\] Проверка: энергия молнии \(\sim10^{9}\) Дж — порядка энергии 200 кг тротила, что согласуется с разрушительностью удара; на человека приходится несколько мегаджоулей — как энергия киловатт-часа.

Капиллярные сосуды.

3.12. Закон Пуазейля \(\Delta p=RD\) аналогичен закону Ома \(U=IR\): разности давлений соответствует напряжение, объёмному расходу — сила тока, гидравлическому сопротивлению — электрическое (рис. 9). Все капилляры одинаковы, работают при одной и той же разности давлений \(\Delta p\) и соединены параллельно, значит, как параллельно соединённые резисторы: проводимости складываются. Сопротивление всего набора \[R_{\text{все}}=\frac{\Delta p}{D}=\frac{10^{3}~\text{Па}}{10^{-4}~\text{м}^{3}/\text{с}}=10^{7}~\text{Па}\cdot\text{с}/\text{м}^{3},\] а для \(N\) одинаковых параллельных сопротивлений \(R\) получаем \[\frac{1}{R_{\text{все}}}=\frac{N}{R}\quad\Rightarrow\quad N=\frac{R}{R_{\text{все}}} .\] Сопротивление одного капилляра по формуле Пуазейля. Обратите внимание на единицы: \(\eta=4{,}5~\text{г}/(\text{м}\cdot\text{с})=4{,}5\cdot10^{-3}~\text{Па}\cdot\text{с}\), \(D=100~\text{см}^{3}/\text{с}=10^{-4}~\text{м}^{3}/\text{с}\): \[R=\frac{8\eta L}{\pi r^{4}}=\frac{8\cdot4{,}5\cdot10^{-3}\cdot10^{-3}}{\pi\cdot(4\cdot10^{-6})^{4}}\approx4{,}5\cdot10^{16}~\text{Па}\cdot\text{с}/\text{м}^{3}.\] Отсюда \[\boxed{\,N=\frac{R}{R_{\text{все}}}=\frac{4{,}5\cdot10^{16}}{10^{7}}=4{,}5\cdot10^{9}\,}.\]

Рис. 9. Слева: \(N\) одинаковых капилляров с сопротивлением \(R\) каждый соединены параллельно между артериями и венами, общий расход \(D\) при разности давлений \(\Delta p\). Справа: один капилляр длиной \(L\) и радиусом \(r\), скорость крови \(v\).

3.13. Весь расход \(D\) делится между \(N\) капиллярами; суммарная площадь сечения всех капилляров \(S_{\text{все}}=N\pi r^{2}\), и \(D=S_{\text{все}}v\): \[\boxed{\,v=\frac{D}{N\pi r^{2}}=\frac{10^{-4}}{4{,}5\cdot10^{9}\cdot\pi\cdot(4\cdot10^{-6})^{2}}\approx4{,}4\cdot10^{-4}~\text{м}/\text{с}=0{,}44~\text{мм}/\text{с}\,}.\] Второй способ — рассмотреть один капилляр: расход \(D_1=\pi r^{2}v=\Delta p/R\), откуда \[v=\frac{r^{2}\Delta p}{8\eta L}=\frac{(4\cdot10^{-6})^{2}\cdot10^{3}}{8\cdot4{,}5\cdot10^{-3}\cdot10^{-3}}=4{,}4\cdot10^{-4}~\text{м}/\text{с},\] то же число. Проверка: скорость крови в капиллярах — доли миллиметра в секунду, медленная; а суммарное сечение всех капилляров \(N\pi r^{2}\approx0{,}23~\text{м}^{2}\) намного больше сечения аорты (несколько см\(^{2}\)) — поэтому кровь в капиллярах так сильно замедляется.

Небоскрёб.

3.14. Слой воздуха поднимается медленно, расширяется без теплообмена — адиабатически. Для идеального газа \(pV=NkT\) (\(N\) — число молекул в слое) и \(pV^{\gamma}=\text{const}\). Исключим \(V=NkT/p\) из второго: \(p\,(NkT/p)^{\gamma}=\text{const}\), то есть \(p^{1-\gamma}T^{\gamma}=\text{const}\). Возьмём логарифмический дифференциал: \[(1-\gamma)\frac{dp}{p}+\gamma\,\frac{dT}{T}=0 \quad\Rightarrow\quad \boxed{\,\frac{dT}{T}=\Bigl(1-\frac{1}{\gamma}\Bigr)\frac{dp}{p}\,}.\] Чем меньше давление, тем ниже температура слоя.

3.15. Слой на высоте \(z\) покоится (не ускоряется), поэтому сила тяжести уравновешена разностью сил давления на его нижнюю и верхнюю грани (рис. 10). Площадь основания \(A\), толщина \(h\), объём \(V=Ah\); сила давления снизу направлена вверх и равна \(p(z)A\), сверху — вниз и равна \(p(z+h)A\). Запишем равенство сил в проекции на ось \(z\), направленную вверх, для слоя из \(N\) молекул массой \(m\) каждая: \[p(z)A-p(z+h)A-Nmg=0 .\] Число молекул найдём из уравнения состояния: \(N=\dfrac{pV}{kT}=\dfrac{pAh}{kT}\). Разность давлений \(p(z+h)-p(z)=\dfrac{dp}{dz}\,h\). Подставляем и сокращаем на \(Ah\): \[-\frac{dp}{dz}=\frac{mg}{k}\frac{p}{T} \quad\Rightarrow\quad \boxed{\,dp=-\frac{mg}{k}\,\frac{p}{T}\,dz\,}.\]

Рис. 10. Силы, действующие на слой воздуха толщиной \(h\) и площадью основания \(A\) на высоте \(z\): давление снизу, давление сверху и сила тяжести.

3.16. Объединим 3.14 и 3.15: из 3.14 \(dT=\bigl(1-\tfrac1\gamma\bigr)T\,\dfrac{dp}{p}\), подставим \(dp/p=-\dfrac{mg}{kT}\,dz\) из 3.15. Температура сокращается: \[dT=-\Bigl(1-\frac1\gamma\Bigr)\frac{mg}{k}\,dz .\] Температура падает с высотой линейно, с постоянным градиентом (рис. 11): \[\frac{dT}{dz}=-\Bigl(1-\frac1\gamma\Bigr)\frac{mg}{k}=-\frac27\cdot\frac{4{,}65\cdot10^{-26}\cdot9{,}80}{1{,}38\cdot10^{-23}}~\frac{\text{К}}{\text{м}}=-9{,}43\cdot10^{-3}~\frac{\text{К}}{\text{м}} .\] Для здания высотой \(H=1000\) м \[\boxed{\,T_{\mathrm{top}}=T_{\mathrm{bot}}-\Bigl(1-\frac1\gamma\Bigr)\frac{mgH}{k}=30~^\circ\text{C}-9{,}4~\text{К}\approx20{,}6~^\circ\text{C}\,}.\]

Рис. 11. Температура наружного воздуха как функция высоты: линейное падение на \(9{,}4\) К на каждый километр.

Проверка: размерность \(mg/k\) — Дж/м \(\cdot\) К/Дж \(=\) К/м. Градиент \(9{,}4\) К/км близок к сухоадиабатическому градиенту атмосферы \(9{,}8\) К/км (у настоящего воздуха теплоёмкость немного другая); тот же результат получается и из закона сохранения энергии для поднимающегося слоя, \(c_p\,dT=-g\,dz\), где удельная теплоёмкость азота при постоянном давлении \(c_p=\tfrac72\,k/m\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.