Наблюдение за движущимся стержнем

Изображение точки стоит там, где точка была в момент, когда вышел пришедший сейчас в отверстие свет: чем дальше точка от отверстия, тем раньше вышел свет и тем больше за это время сместился стержень. Длину стержня в системе камеры берите лоренцево сокращённой, \(L/\gamma\).

2.1) \(x=\tilde x+\beta\sqrt{D^{2}+\tilde x^{2}}\);  2.2) \(\tilde x=\gamma^{2}x-\beta\gamma\sqrt{D^{2}+(\gamma x)^{2}}\);  2.3) \(\tilde L(x_0)=\gamma L+\beta\gamma\Bigl[\sqrt{D^{2}+(\gamma x_0-\tfrac L2)^{2}}-\sqrt{D^{2}+(\gamma x_0+\tfrac L2)^{2}}\Bigr]\);  2.4) убывает всё время;  2.5) \(\tilde L=L/\gamma\);  2.6) \(x_0=\beta\sqrt{D^{2}+(L/2\gamma)^{2}}\);  2.7) \(\ell=\dfrac{L}{2\gamma}-\beta\gamma\Bigl[\sqrt{(\gamma D)^{2}+\tfrac{L^{2}}4}-\sqrt{(\gamma D)^{2}+\tfrac{\beta^{2}L^{2}}4}\Bigr]\);  2.8) \(3\) м на раннем снимке, \(1\) м на позднем;  2.9) \(v=c/2=1{,}5\cdot10^{8}~\text{м}/\text{с}\);  2.10) \(L=\sqrt3~\text{м}\approx1{,}73\) м;  2.11) \(\tilde L=1{,}50\) м.

Что происходит. Камера фиксирует не то, где стержень находится в момент снимка, а свет, который в этот момент пришёл в отверстие. Свет от более далёкой точки вышел раньше, и за время его пути стержень успел сместиться. Поэтому изображение каждой точки стоит там, где точка была в момент испускания света, а не там, где она в момент снимка. Главная идея: время пути света \(T=\sqrt{D^{2}+\tilde x^{2}}/c\) связывает положение на снимке \(\tilde x\) с истинным положением \(x\). Длину стержня при этом нужно брать лоренцево сокращённой, \(L/\gamma\): истинные положения концов — это положения одновременно в системе камеры.

Обозначения. Работаем в системе отсчёта камеры; ось \(x\) направлена вдоль движения стержня, отверстие — в точке \((0,D)\). \(\tilde x\) — координата изображения участка стержня, \(x\) — его истинная координата в момент снимка. \(x_0\) — истинная координата центра стержня в момент снимка; концы стержня — \(x_{+}\) (передний, по ходу движения) и \(x_{-}\) (задний), изображения концов — \(\tilde x_{\pm}\). \(\tilde L=\tilde x_{+}-\tilde x_{-}\) — кажущаяся длина.

2.1. Свет от участка, изображение которого лежит в точке \(\tilde x\), вышел в тот момент, когда участок находился в точке \((\tilde x,0)\), и дошёл до отверстия \((0,D)\) (рис. 2). Путь света равен \(\sqrt{D^{2}+\tilde x^{2}}\), время пути \[T=\frac{\sqrt{D^{2}+\tilde x^{2}}}{c}.\] За время \(T\) участок прошёл вдоль оси расстояние \(vT=\beta\sqrt{D^{2}+\tilde x^{2}}\). К моменту снимка он оказался в точке \[\boxed{\,x=\tilde x+\beta\sqrt{D^{2}+\tilde x^{2}}\,}.\]

Рис. 2. Световой луч выходит из точки \(\tilde x\) и за время \(T\) доходит до отверстия; за то же время участок стержня смещается на \(vT\) и в момент снимка оказывается в точке \(x\).

2.2. Из \(x-\tilde x=\beta\sqrt{D^{2}+\tilde x^{2}}\) нужно выразить \(\tilde x\). Возведём в квадрат: \[x^{2}-2x\tilde x+\tilde x^{2}=\beta^{2}D^{2}+\beta^{2}\tilde x^{2} \quad\Rightarrow\quad \tilde x^{2}-2\gamma^{2}x\,\tilde x+\gamma^{2}\bigl(x^{2}-\beta^{2}D^{2}\bigr)=0 ,\] где использовано \(1/(1-\beta^{2})=\gamma^{2}\). Решение квадратного уравнения: \(\tilde x=\gamma^{2}x\pm\sqrt{\gamma^{4}x^{2}-\gamma^{2}x^{2}+\gamma^{2}\beta^{2}D^{2}}\). Так как \(\gamma^{2}-1=\beta^{2}\gamma^{2}\), подкоренное выражение равно \(\gamma^{2}\beta^{2}\bigl(\gamma^{2}x^{2}+D^{2}\bigr)\).

Обратите внимание: возведение в квадрат добавило лишний корень. Из 2.1 следует \(x>\tilde x\) (стержень за время \(T\) сместился вперёд), поэтому нужен корень с минусом: \[\boxed{\,\tilde x=\gamma^{2}x-\beta\gamma\sqrt{D^{2}+(\gamma x)^{2}}\,}.\] Проверим: \(x-\tilde x=\beta\gamma\bigl(\sqrt{D^{2}+\gamma^{2}x^{2}}-\beta\gamma x\bigr)>0\), поскольку \(\sqrt{D^{2}+\gamma^{2}x^{2}}>\gamma|x|>\beta\gamma x\).

2.3. Стержень движется, поэтому в системе камеры его длина равна \(L/\gamma\) (лоренцево сокращение). Истинные положения концов в момент снимка (рис. 3): \[x_{\pm}=x_0\pm\frac{L}{2\gamma}.\] Подставим в формулу 2.2. Так как \(\gamma x_{\pm}=\gamma x_0\pm L/2\), получаем \[\tilde x_{\pm}=\gamma\Bigl(\gamma x_0\pm\frac L2\Bigr)-\beta\gamma\sqrt{D^{2}+\Bigl(\gamma x_0\pm\frac L2\Bigr)^{2}} .\] Кажущаяся длина — разность изображений концов, \(\tilde L=\tilde x_{+}-\tilde x_{-}\): \[\boxed{\,\tilde L(x_0)=\gamma L+\beta\gamma\sqrt{D^{2}+\Bigl(\gamma x_0-\frac L2\Bigr)^{2}}-\beta\gamma\sqrt{D^{2}+\Bigl(\gamma x_0+\frac L2\Bigr)^{2}}\,}.\]

Рис. 3. Концы стержня в момент снимка (\(x_{-}\), \(x_{+}\)) и их изображения на снимке (\(\tilde x_{-}\), \(\tilde x_{+}\)): свет от каждого конца вышел из точки, где конец был раньше. Рисунок для \(\beta=1/2\), \(D=2{,}4\) см, \(L/\gamma=1{,}2\) см, \(x_0=-3\) см.

2.4. Центр стержня движется равномерно, \(x_0=x_{00}+vt\), поэтому вопрос в том, возрастает или убывает \(\tilde L\) при росте \(x_0\). Обозначим \(f(u)=u/\sqrt{D^{2}+u^{2}}\); эта функция возрастает на всей оси. Дифференцируем: \[\frac{d\tilde L}{dx_0}=\beta\gamma^{2}\Bigl[f\Bigl(\gamma x_0-\frac L2\Bigr)-f\Bigl(\gamma x_0+\frac L2\Bigr)\Bigr] .\] Аргумент у первого слагаемого меньше, чем у второго, значит, разность в скобках отрицательна при любом \(x_0\). На графике (рис. 4) это видно прямо: кривая <<\(-\)>> лежит выше кривой <<\(+\)>> слева от центра и ниже справа, а их разность монотонно убывает от \(+L\) до \(-L\).

Рис. 4. Два слагаемых с корнями из выражения для \(\tilde L\) как функции \(\gamma x_0\) (для \(D=L/2\)).

Кажущаяся длина убывает всё время (рис. 5).

Рис. 5. Кажущаяся длина как функция положения центра стержня для \(\beta=1/2\), \(D=L\): стержень сначала кажется длиннее \(L\), при \(x_0=0\) — равным \(\gamma L\), потом короче.

2.5. На симметричном снимке оба конца находятся на одинаковом расстоянии от отверстия. Значит, свет от обоих концов прошёл одинаковый путь за одно и то же время \(T\) и был испущен в один и тот же момент. Положения концов в один и тот же момент в системе камеры — это и есть истинное расстояние между ними: \[\boxed{\,\tilde L=\frac{L}{\gamma}\,}.\] Изображения концов стоят симметрично, \(\tilde x_{\pm}=\pm\dfrac{L}{2\gamma}\) (рис. 6).

2.6. Для обоих концов \(\sqrt{D^{2}+\tilde x^{2}}\) одинаков, равен \(\sqrt{D^{2}+(L/2\gamma)^{2}}\), поэтому по 2.1 истинные положения концов — \(x_{\pm}=\pm\dfrac{L}{2\gamma}+\beta\sqrt{D^{2}+(L/2\gamma)^{2}}\): оба конца сдвинуты относительно изображений на одну и ту же величину. Середина стержня — среднее этих координат: \[\boxed{\,x_0=\beta\sqrt{D^{2}+\Bigl(\frac{L}{2\gamma}\Bigr)^{2}}\,}.\]

Рис. 6. Симметричный снимок (\(\beta=1/2\), \(D=2{,}4\) см, \(L/\gamma=3\) см): лучи от концов равной длины \(r\); изображение середины стержня \(\tilde x_0\) смещено от середины снимка. Внизу в том же масштабе по оси \(x\) — истинное положение стержня.

2.7. Положение изображения середины стержня найдём по формуле 2.2 для \(x=x_0\). Сначала упростим подкоренное выражение: \[D^{2}+(\gamma x_0)^{2}=D^{2}+\beta^{2}\gamma^{2}D^{2}+\frac{\beta^{2}L^{2}}4=\gamma^{2}D^{2}+\frac{\beta^{2}L^{2}}4 ,\] здесь использовано \(1+\beta^{2}\gamma^{2}=\gamma^{2}\); кроме того, \(\gamma^{2}x_0=\beta\gamma\sqrt{\gamma^{2}D^{2}+L^{2}/4}\). Тогда \[\tilde x_0=\beta\gamma\Bigl[\sqrt{(\gamma D)^{2}+\frac{L^{2}}4}-\sqrt{(\gamma D)^{2}+\frac{\beta^{2}L^{2}}4}\,\Bigr] .\] Расстояние от неё до изображения переднего конца \(\tilde x_{+}=L/2\gamma\): \[\boxed{\,\ell=\frac{L}{2\gamma}-\tilde x_0=\frac{L}{2\gamma}-\beta\gamma\sqrt{(\gamma D)^{2}+\frac{L^{2}}4}+\beta\gamma\sqrt{(\gamma D)^{2}+\frac{\beta^{2}L^{2}}4}\,} .\] Разность корней можно упростить: \(a^{2}-b^{2}=\frac{L^{2}}4(1-\beta^{2})=\frac{L^{2}}{4\gamma^{2}}\), поэтому \(a-b=\dfrac{L^{2}}{4\gamma^{2}(a+b)}\) и \[\ell=\frac{L}{2\gamma}\Biggl[1-\frac{\beta L/2}{\sqrt{(\gamma D)^{2}+\frac{L^{2}}4}+\sqrt{(\gamma D)^{2}+\frac{\beta^{2}L^{2}}4}}\Biggr] .\] Середина стержня на снимке оказывается ближе к переднему концу, чем к заднему: \(\ell<L/2\gamma\) (при \(\beta\to0\) получаем \(\ell\to L/2\)).

2.8. Очень ранний снимок: центр стержня \(x_0\to-\infty\), оба конца очень далеко, \(\sqrt{D^{2}+u^{2}}\to|u|\). В формуле 2.3 \(\sqrt{D^{2}+(\gamma x_0\mp L/2)^{2}}\to-\gamma x_0\pm L/2\), и разность корней стремится к \(L\): \[\tilde L_{\text{ран}}=\gamma L+\beta\gamma L=(1+\beta)\gamma L=\sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}}\,L .\] При \(x_0\to+\infty\) (очень поздно) разность корней стремится к \(-L\): \[\tilde L_{\text{поз}}=(1-\beta)\gamma L=\sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}}\,L .\] Видим, что \(\tilde L_{\text{ран}}>\tilde L_{\text{поз}}\), как и должно быть при убывающей \(\tilde L(x_0)\) (рис. 5). Значит, \(3{,}00\) м — на раннем снимке, \(1{,}00\) м — на позднем.

Ту же асимптотику можно получить без формул (рис. 7). Далеко от камеры свет идёт почти вдоль оси, и разность времён испускания света от двух концов равна \(\tilde L/c\). На раннем снимке стержень приближается: задний конец, свет от которого прошёл на \(\tilde L\) больше, вышел раньше на \(T_{-}-T_{+}=\tilde L/c\) и за это время сместился на \(\beta\tilde L\) больше переднего. Поэтому \(x_{+}-x_{-}=\tilde L-\beta\tilde L\), то есть \(L/\gamma=(1-\beta)\tilde L\), откуда \(\tilde L=\gamma(1+\beta)L\). Для удаляющегося стержня разность смещений складывается с \(\tilde L\), \(L/\gamma=(1+\beta)\tilde L\).

Рис. 7. Далёкие снимки (схема, не в масштабе): положения концов при испускании света (\(\tilde x_{\pm}\), кружки) и в момент снимка (\(x_{\pm}\), стержень); \(\beta=1/2\). Ранний снимок: \(\tilde L=3\), \(L/\gamma=1{,}5\); поздний снимок: \(\tilde L=1\), \(L/\gamma=1{,}5\) (в условных единицах).

2.9. Из двух выражений для \(\tilde L_{\text{ран}}\) и \(\tilde L_{\text{поз}}\): \[\frac{\tilde L_{\text{ран}}}{\tilde L_{\text{поз}}}=\frac{1+\beta}{1-\beta} \quad\Rightarrow\quad \beta=\frac{\tilde L_{\text{ран}}-\tilde L_{\text{поз}}}{\tilde L_{\text{ран}}+\tilde L_{\text{поз}}}=\frac{3-1}{3+1}=\frac12 ,\] \[\boxed{\,v=\frac c2=1{,}5\cdot10^{8}~\text{м}/\text{с}\,}.\]

2.10. Перемножим те же выражения: \(\tilde L_{\text{ран}}\tilde L_{\text{поз}}=\gamma^{2}(1-\beta^{2})L^{2}=L^{2}\). Отсюда \[\boxed{\,L=\sqrt{\tilde L_{\text{ран}}\tilde L_{\text{поз}}}=\sqrt{3\cdot1}~\text{м}\approx1{,}73~\text{м}\,}.\]

2.11. По 2.5 кажущаяся длина на симметричном снимке равна \(L/\gamma=L\sqrt{1-\beta^{2}}\). Выразим её через \(\tilde L_{\text{ран}}\) и \(\tilde L_{\text{поз}}\): \(\dfrac{2\tilde L_{\text{ран}}\tilde L_{\text{поз}}}{\tilde L_{\text{ран}}+\tilde L_{\text{поз}}}=\dfrac{2L^{2}}{2\gamma L}=\dfrac L\gamma\). Тогда \[\boxed{\,\tilde L=\frac{2\cdot3\cdot1}{3+1}~\text{м}=1{,}50~\text{м}\,}\] (и по числам: \(L/\gamma=\sqrt3\cdot\frac{\sqrt3}{2}=1{,}5\) м).

Проверка. При \(\beta\to0\) из 2.1 получаем \(x=\tilde x\) (свет приходит мгновенно по сравнению с движением), из 2.3 — \(\tilde L=L\), а ранний и поздний снимки не различаются, как и должно быть для покоящегося стержня. Размерности: все слагаемые в 2.3 и 2.7 — длины. Физический смысл: на раннем снимке стержень, летящий к камере, выглядит растянутым в \((1+\beta)\gamma\) раз, на позднем, удаляющийся, — сжатым в \(\gamma(1-\beta)\) раз; на симметричном снимке виден просто лоренцево сокращённый стержень.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.