Космические корабли

Скорость подарка в системе Боба находится по релятивистскому закону сложения скоростей; запуски Алисы в системе Боба идут реже из-за замедления времени. В пункте b) нужно учесть, что Алиса видит подарки не там, где они сейчас, а там, где они были, когда с них вышел свет, пришедший к ней сейчас.

a) (i) \(l_B=\dfrac{16}{37}\,c\,\Delta t_0\approx0{,}43\,c\,\Delta t_0\);  (ii) \(\Delta t_1=\dfrac{16}{35}\,\Delta t_0\approx0{,}46\,\Delta t_0\);  b) отношение числа удаляющихся подарков к числу приближающихся равно \(18\).

Что происходит. Подарки Алисы летят к Бобу, и сам её корабль движется в ту же сторону. В системе Боба запуски идут реже, чем в системе Алисы (замедление времени), а подарок летит быстрее, чем \(v\) (сложение скоростей). Расстояние между соседними подарками — это то, на сколько первый подарок успевает уйти от корабля Алисы между двумя запусками; разделив его на скорость подарка, получаем интервал их прихода к Бобу. В пункте b) главное — запаздывание света: Алиса видит подарки не там, где они сейчас, а там, где они были в момент выхода света, и это сильно меняет, какие подарки и в каком количестве она видит.

Обозначения. Система отсчёта Боба — \(B\), система Алисы — \(A\). \(\gamma_u=\dfrac1{\sqrt{1-u^2/c^2}}=\dfrac54\) при \(u=\frac35c\). \(v_B\) — скорость подарка Алисы в системе \(B\); \(l_B\) — расстояние между двумя соседними подарками Алисы в системе \(B\) (измеренное в один и тот же момент по часам \(B\)).

a) (i) Расстояние между подарками.

Скорость подарка в системе Боба. Корабль Алисы движется относительно Боба со скоростью \(u\) вдоль линии, соединяющей корабли, и подарок летит относительно корабля в ту же сторону со скоростью \(v\). Применим закон сложения скоростей для движения вдоль одной прямой: \[v_B=\frac{u+v}{1+uv/c^2}=\frac{\frac35+\frac45}{1+\frac35\cdot\frac45}\,c=\frac{7/5}{37/25}\,c=\frac{35}{37}\,c\approx0{,}946\,c .\]

Интервал между запусками в системе Боба. Два запуска происходят в одной точке системы \(A\) (на корабле Алисы), поэтому \(\Delta t_0\) — собственное время между ними. В системе \(B\) между запусками проходит \[\Delta t_0'=\gamma_u\,\Delta t_0=\frac54\,\Delta t_0 .\]

Расстояние. За время \(\Delta t_0'\) корабль Алисы проходит путь \(u\,\Delta t_0'\), а первый подарок — путь \(v_B\,\Delta t_0'\). В момент второго запуска второй подарок находится на корабле, а первый — впереди него на \[l_B=(v_B-u)\,\Delta t_0'=\left(\frac{35}{37}-\frac35\right)c\cdot\frac54\,\Delta t_0=\frac{64}{185}\cdot\frac54\,c\,\Delta t_0=\frac{16}{37}\,c\,\Delta t_0\approx0{,}43\,c\,\Delta t_0 .\] Дальше все подарки летят с одной скоростью \(v_B\), поэтому расстояние между ними не меняется.

Рис. 1. Система Боба в момент второго запуска: корабль Алисы движется со скоростью \(u\), подарки — со скоростью \(v_B\); расстояние между соседними подарками \(l_B\). Длины стрелок пропорциональны скоростям.

Обратите внимание: брать \(l=v\,\Delta t_0=\frac45\,c\,\Delta t_0\) нельзя — это расстояние между подарками в системе Алисы, там другие скорость подарка и время.

a) (ii) Интервал прихода. Подарки движутся к неподвижному Бобу со скоростью \(v_B\) и расположены на расстоянии \(l_B\) друг от друга, поэтому \[\Delta t_1=\frac{l_B}{v_B}=\frac{16/37}{35/37}\,\Delta t_0=\frac{16}{35}\,\Delta t_0\approx0{,}46\,\Delta t_0 .\]

Рис. 2. Диаграмма в системе Боба (единицы \(c=1\), \(\Delta t_0=1\), масштабы по осям одинаковые): мировая линия корабля Алисы со скоростью \(u\), мировые линии четырёх подарков со скоростью \(v_B\) и мировая линия Боба. Расстояние \(l_B\) — по горизонтали (одновременно в системе \(B\)), интервал \(\Delta t_1\) — по вертикали вдоль линии Боба.

Проверка пункта a) вторым способом. В системе \(G\), где подарки покоятся, расстояние между ними \(l_G\). В системе Алисы оно сокращено в \(\gamma_v=\frac53\) раз и равно \(v\,\Delta t_0=\frac45\,c\,\Delta t_0\), то есть \(l_G=\gamma_v\,v\,\Delta t_0=\frac43\,c\,\Delta t_0\). В системе Боба подарки движутся со скоростью \(v_B\), \(\gamma_{v_B}=\left(1-\frac{35^2}{37^2}\right)^{-1/2}=\frac{37}{12}\), и \[l_B=\frac{l_G}{\gamma_{v_B}}=\frac43\cdot\frac{12}{37}\,c\,\Delta t_0=\frac{16}{37}\,c\,\Delta t_0 ,\] то же значение.

b) Отношение чисел видимых подарков. Дальше всё считаем в системе Алисы. Протокол Боба такой же, как у Алисы, а скорость сближения кораблей одна и та же в обеих системах, поэтому в системе Алисы подарки Боба движутся к ней со скоростью \(v_B=\frac{35}{37}c\) и приходят к ней с интервалом \(\Delta t_1=\frac{16}{35}\Delta t_0\) (симметрия: подарки Боба в системе Алисы — это в точности подарки Алисы в системе Боба из пункта a).

Что значит «видит». Алиса видит объект там, где он был, когда с него вышел свет, пришедший сейчас. Свет, вышедший на расстоянии \(x\), ушёл на путь за время \(x/c\). Пусть сейчас (момент \(t=0\)) она видит корабль Боба на расстоянии \(d_B\): этот свет вышел в момент \(-d_B/c\) (точка \(E\) на рисунке 3), настоящее расстояние до Боба уже меньше.

Рис. 3. Система Алисы (\(c=1\), \(d_B=1\)). Пунктир — свет, приходящий к Алисе в момент «сейчас» (\(x=-ct\)). В точке \(E\) Алиса видит Боба. Жирная линия — самый старый из видимых подарков Алисы (запущен при \(ct=-d_B(1+c/v)\), в точке \(E\) достигает Боба); тонкая — более новый подарок, виден в точке пересечения с пунктиром. Подарки Боба, летящие почти со скоростью света (\(v_B=0{,}946\,c\)), идут от \(E\) к Алисе почти вдоль пунктира и не показаны.

Подарки, удаляющиеся от Алисы. Она видит свой подарок на всём пути, пока не увидит, что он достиг Боба. Самый старый из видимых — тот, чьё прибытие к Бобу (событие \(E\)) видно сейчас. Он долетел за время \(d_B/v\) и прибыл в момент \(-d_B/c\), значит, запущен в момент \(-d_B/c-d_B/v\). Все подарки, запущенные после него, ещё в пути и видны. Они запускаются через \(\Delta t_0\), поэтому \[N_{\text{удал}}=\frac{d_B\left(\frac1c+\frac1v\right)}{\Delta t_0}=\frac{d_B}{c\,\Delta t_0}\left(1+\frac54\right)=\frac94\,\frac{d_B}{c\,\Delta t_0}.\]

Подарки, приближающиеся к Алисе. Самый новый из видимых — тот, чей вылет с корабля Боба (событие \(E\)) виден сейчас: позже вылетевшие подарки ещё не видны. Самый старый из видимых — тот, что прибывает к Алисе в момент «сейчас»; давно прибывшие уже съедены. Подарок, вылетевший в точке \(E\) в момент \(-d_B/c\), летит к Алисе время \(d_B/v_B\) и прибывает в момент \(\frac{d_B}{v_B}-\frac{d_B}{c}\) после «сейчас». Видимы все подарки, прибывающие в промежутке от нуля до этого момента, а прибывают они через \(\Delta t_1\): \[N_{\text{прибл}}=\frac{d_B\left(\frac1{v_B}-\frac1c\right)}{\Delta t_1}=\frac{d_B}{c}\cdot\frac{2/35}{(16/35)\,\Delta t_0}=\frac18\,\frac{d_B}{c\,\Delta t_0}.\]

Отношение. Величина \(d_B\) сокращается: \[\frac{N_{\text{удал}}}{N_{\text{прибл}}}=\frac{9/4}{1/8}=18 .\]

Обратите внимание: считать подарки «между Алисой и Бобом» по расстояниям в одной системе отсчёта и одновременным положениям нельзя — Алиса видит не одновременные положения, а положения в разные моменты, соответствующие приходу света. Поэтому в расчёт входят и запаздывание света, и разные скорости подарков.

Второй способ: кажущееся расстояние между подарками. Подарок Алисы, запущенный за время \(s\) до «сейчас», виден на расстоянии \(x\), где \(x=v\,(s-x/c)\) (за время \(s-x/c\) подарок прошёл путь \(x\) до того момента, когда с него вышел видимый свет): \[x=\frac{v\,s}{1+v/c},\qquad\text{кажущийся шаг}=\frac{v\,\Delta t_0}{1+v/c}=\frac{4/5}{9/5}\,c\,\Delta t_0=\frac49\,c\,\Delta t_0 .\] Подарок Боба, прибывающий к Алисе через время \(\tau\) после «сейчас», виден на расстоянии \(x=v_B\,(\tau+x/c)\): \[x=\frac{v_B\,\tau}{1-v_B/c},\qquad\text{кажущийся шаг}=\frac{v_B\,\Delta t_1}{1-v_B/c}=\frac{16/37}{2/37}\,c\,\Delta t_0=8\,c\,\Delta t_0 .\] Видимые подарки обеих групп заполняют один и тот же отрезок от Алисы до кажущегося положения Боба \(d_B\), поэтому отношение чисел равно обратному отношению кажущихся шагов: \(\dfrac{8}{4/9}=18\).

Рис. 4. Что видит Алиса на отрезке длиной \(d_B=16\,c\,\Delta t_0\) (пример): 36 подарков, удаляющихся от неё (серые, шаг \(\frac49\,c\,\Delta t_0\)), и 2 приближающихся (бирюзовые, шаг \(8\,c\,\Delta t_0\)); отношение \(36:2=18\).

Ответ. \[\boxed{l_B=\frac{16}{37}\,c\,\Delta t_0},\qquad \boxed{\Delta t_1=\frac{16}{35}\,\Delta t_0},\qquad \boxed{\frac{N_{\text{удал}}}{N_{\text{прибл}}}=18} .\]

Проверка. Размерность: \(l_B\sim c\,\Delta t_0\) — длина, \(\Delta t_1\sim\Delta t_0\) — время, отношение чисел безразмерно. Предел \(u\to0\): \(v_B=v\), \(l_B=v\,\Delta t_0\), \(\Delta t_1=\Delta t_0\), как для двух неподвижных кораблей. Для b) тот же предел даёт \(N_{\text{удал}}/N_{\text{прибл}}=\dfrac{1+v/c}{1-v/c}=9\) — это эффект одного лишь запаздывания света; при \(u=\frac35c\) ответ \(18\) вдвое больше, потому что корабли сближаются, и приходящие подарки приходят чаще. Оба способа дали \(18\). Смысл: из-за запаздывания света Алиса видит удаляющиеся подарки «сжатыми» (шаг \(\frac49\)), а приближающиеся — «растянутыми» (шаг \(8\)), и подарков первой группы в её поле зрения в восемнадцать раз больше.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.