Скользящая шайба

Пока скорость контактной точки относительно стенки не равна нулю, трение скольжения тормозит центр шайбы и закручивает её вокруг оси. Найдите, на каком этапе пути скорость центра сравняется со скоростью вращения края \(r\omega\): после этого трения нет, и скорость больше не меняется.

a) \(v_e=v_0e^{-\pi\mu}\) при \(\mu\le\mu_c=\dfrac{\ln(3/2)}{\pi}\approx0{,}129\) (шайба скользит до самого выхода); \(v_e=\dfrac23\,v_0\) при \(\mu\ge\mu_c\) (шайба успевает перейти к качению без проскальзывания);  b) убывающая экспонента от \(v_0\) до \(\frac23v_0\) при \(\mu_c\), дальше горизонтальная прямая \(v_e=\frac23v_0\) с изломом в точке \(\mu_c\).

Что происходит. Шайба прижата к стенке и идёт по дуге. Нормальная сила стенки направлена к её центру и только поворачивает скорость, а сила трения скольжения направлена по касательной против скорости контактной точки: она тормозит центр шайбы и своим моментом закручивает шайбу вокруг вертикальной оси, причём в сторону, противоположную обходу стенки. Скольжение прекращается, когда контактная точка относительно стенки останавливается, то есть при \(v=r\omega\). После этого трения нет и скорость уже не меняется. Главная идея: выяснить, успевает ли шайба раскрутиться до этого момента, пока идёт вдоль полукруга.

Обозначения. \(m\) — масса шайбы, \(I=\frac12mr^2\) — момент инерции однородного диска относительно вертикальной оси симметрии, \(v\) — скорость центра шайбы, \(\omega\) — модуль её угловой скорости, \(\varphi\) — угол, на который центр шайбы повернулся вокруг центра стенки от места входа (\(\varphi=0\) на входе, \(\varphi=\pi\) на выходе). Так как \(r\ll R\), траекторию центра считаем дугой радиуса \(R\). Вращение шайбы идёт противоположно обходу стенки, поэтому скорость контактной точки относительно стенки равна \(v-r\omega\), и пока \(v>r\omega\), происходит скольжение.

Рис. 2. Вид сверху: силы на шайбу, скорость центра и вращение; \(\varphi\) — угол поворота центра шайбы вокруг центра стенки \(O\).

a) Скорость при выходе.

Силы. Сила тяжести и реакция горизонтальной плоскости направлены вертикально и уравновешивают друг друга, в горизонтальной плоскости остаются две силы: нормальная реакция стенки \(\vec N\) (к центру стенки) и сила трения \(\vec F_{\text{тр}}\) (по касательной, против скорости контактной точки).

Нормальная сила. Запишем второй закон Ньютона для центра шайбы в проекции на направление к центру стенки. Центр движется по окружности радиуса \(R\), трение направлено по касательной и в эту проекцию не входит: \[\frac{mv^2}{R}=N .\] Пока идёт скольжение, \(F_{\text{тр}}=\mu N\), откуда \[F_{\text{тр}}=\mu\,\frac{mv^2}{R}.\]

Поступательное движение. Второй закон Ньютона в проекции на направление скорости (касательную): \[m\frac{dv}{dt}=-\mu\frac{mv^2}{R}\quad\Longrightarrow\quad \frac{dv}{v^2}=-\frac{\mu}{R}\,dt .\] Начальное условие \(v(0)=v_0\) (время отсчитываем от входа на стенку). Проинтегрируем от \(v_0\) до \(v\) и от \(0\) до \(t\): \[\frac1{v_0}-\frac1v=-\frac{\mu}{R}\,t\quad\Longrightarrow\quad v(t)=\frac{v_0}{1+t/\tau},\qquad \tau=\frac{R}{\mu v_0}.\]

Вращение. Уравнение моментов относительно вертикальной оси через центр шайбы: момент создаёт только сила трения, плечо равно \(r\): \[I\frac{d\omega}{dt}=rF_{\text{тр}}=r\mu\frac{mv^2}{R}.\] Умножим на \(r/I\) и учтём \(I=\frac12mr^2\), то есть \(r^2/I=2/m\): \[r\frac{d\omega}{dt}=\frac{2\mu}{R}\,v^2=\frac{2\mu v_0^2}{R}\cdot\frac1{(1+t/\tau)^2}=\frac{2v_0}{\tau}\cdot\frac1{(1+t/\tau)^2}.\] В момент входа шайба не вращается, \(\omega(0)=0\). Проинтегрируем: \[r\omega=\frac{2v_0}{\tau}\int_0^t\frac{dt'}{(1+t'/\tau)^2}=2v_0\left(1-\frac1{1+t/\tau}\right)=v_0\,\frac{2t/\tau}{1+t/\tau}.\]

Обе формулы верны только пока идёт скольжение, то есть пока \(v>r\omega\). На рисунке 3 сплошные линии — участок, где они справедливы, пунктир — их продолжение, если бы скольжение не прекращалось.

Рис. 3. Скорость центра \(v\) (чёрная) и скорость края \(r\omega\) (бирюзовая) в зависимости от времени; в момент \(t_1=\tau/2\) они сравниваются.

Переход к качению. Скольжение прекращается в момент \(t_1\), когда \(v(t_1)=r\omega(t_1)\): \[\frac1{1+t_1/\tau}=\frac{2t_1/\tau}{1+t_1/\tau}\quad\Longrightarrow\quad t_1=\frac\tau2,\qquad v_1=\frac{v_0}{1+\frac12}=\frac23\,v_0 .\] С этого момента контактная точка неподвижна относительно стенки, силе трения скольжения взяться неоткуда, а тангенциальная сила и момент равны нулю: скорость \(v_1\) и угловая скорость \(\omega_1=v_1/r\) остаются постоянными, условие \(v=r\omega\) сохраняется само.

Путь по стенке. Нужно узнать, сколько времени шайба идёт по стенке, и сравнить его с \(t_1\). Длина пути \(l\) растёт как \(dl/dt=v\): \[l(t)=\int_0^t\frac{v_0\,dt'}{1+t'/\tau}=v_0\tau\ln\!\left(1+\frac t\tau\right).\] Выход со стенки — пройден полукруг \(l=\pi R\). Так как \(v_0\tau=R/\mu\), получаем \(\ln(1+t_e/\tau)=\pi\mu\): \[t_e=\tau\left(e^{\pi\mu}-1\right).\]

Два случая.

Если \(t_e\le t_1=\tau/2\), то есть \(e^{\pi\mu}\le\frac32\), шайба доходит до края стенки, всё ещё скользя. Тогда \[v_e=v(t_e)=\frac{v_0}{1+t_e/\tau}=v_0e^{-\pi\mu}.\]

Если \(t_e>t_1\), шайба переходит к качению раньше, чем покинет стенку, и дальше скорость не меняется: \[v_e=v_1=\frac23\,v_0 .\]

Критический коэффициент трения находим из условия \(e^{\pi\mu_c}=\frac32\): \[\mu_c=\frac{\ln(3/2)}{\pi}\approx\frac{0{,}405}{3{,}14}=0{,}129 .\]

Рис. 4. Слева \(\mu<\mu_c\): шайба скользит по всей стенке. Справа \(\mu>\mu_c\): на угле \(\varphi_c\) скольжение сменяется качением, дальше трения нет.

Ответ на a). \[\boxed{v_e=v_0\,e^{-\pi\mu}\ \text{при}\ \mu\le\mu_c},\qquad \boxed{v_e=\tfrac23\,v_0\ \text{при}\ \mu\ge\mu_c},\qquad \mu_c=\frac{\ln(3/2)}{\pi}\approx0{,}129 .\]

Обратите внимание: нормальная сила \(N=mv^2/R\) определяется только скоростью, трение направлено по касательной и на неё не влияет, поэтому \(F_{\text{тр}}\propto v^2\) убывает вместе со скоростью. А после перехода к качению сила трения не равна \(\mu N\), а равна нулю: \(\mu N\) — максимально возможная сила трения, а здесь нужная сила нулевая.

Второй способ: через угол. Из \(dl=v\,dt=R\,d\varphi\) уравнение \(dv/dt=-\mu v^2/R\) даёт \(dv/v=-\mu\,d\varphi\), то есть \[v=v_0e^{-\mu\varphi}.\] Уравнение вращения с заменой \(dt=R\,d\varphi/v\): \[\frac{d(r\omega)}{d\varphi}=\frac{2\mu v^2}{R}\cdot\frac Rv=2\mu v=2\mu v_0e^{-\mu\varphi}\quad\Longrightarrow\quad r\omega=2v_0\left(1-e^{-\mu\varphi}\right).\] Равенство \(v=r\omega\) даёт \(e^{-\mu\varphi_c}=\frac23\), то есть \(\mu\varphi_c=\ln\frac32\), и \(v=\frac23v_0\). Скольжение продолжается до выхода (\(\varphi_c\ge\pi\)) при \(\mu\pi\le\ln\frac32\) — тот же критерий. Этот способ показывает, что ответ не зависит от радиуса и даже от формы стенки: скорость и вращение зависят только от угла поворота скорости и от \(\mu\).

Рис. 5. Те же величины в зависимости от угла: по оси абсцисс \(\mu\varphi\). Вертикальные линии — выход со стенки (\(\varphi=\pi\)) при \(\mu\pi=0{,}3\) (раньше точки пересечения: скольжение до конца) и \(\mu\pi=0{,}7\) (позже: на выходе шайба катится).

b) График \(v_e(\mu)\). При малых \(\mu\) шайба скользит до выхода, \(v_e=v_0e^{-\pi\mu}\): экспонента, при \(\mu\to0\) скорость равна \(v_0\), наклон в нуле \(-\pi v_0\). При \(\mu_c\approx0{,}129\) экспонента достигает значения \(\frac23v_0\), и дальше \(v_e=\frac23v_0\) не зависит от \(\mu\): чем больше трение, тем раньше шайба переходит к качению, но скорость качения всегда одна и та же. Функция непрерывна, но в точке \(\mu_c\) имеет излом (производная скачком меняется от \(-\pi v_0\cdot\frac23\approx-2{,}1\,v_0\) до нуля).

Рис. 6. Скорость выхода \(v_e\) в зависимости от коэффициента трения \(\mu\). Пунктир — продолжение экспоненты, которая реализовалась бы без перехода к качению.

Проверка. Размерность: \(\tau=R/(\mu v_0)\) — метры, делённые на метры в секунду, то есть время; \(\mu\varphi\) безразмерно, экспонента осмысленна. Предел \(\mu\to0\): \(v_e\to v_0\), шайба проходит стенку без потерь. Предел \(\mu\to\infty\): шайба мгновенно переходит к качению и уходит с \(\frac23v_0\). Энергия при качении: \(E_{\text{кон}}=\frac12mv_1^2+\frac12I\omega_1^2=\frac34mv_1^2=\frac13mv_0^2\), это две трети начальной \(\frac12mv_0^2\), остальное ушло на работу трения скольжения; увеличения энергии нет, ответ физичен. Смысл: чем сильнее трение, тем быстрее шайба раскручивается, но она не может отдать больше, чем нужно для качения, поэтому скорость выхода не опускается ниже \(\frac23v_0\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.