Интерферометр Фабри — Перо

Свет между зеркалами много раз отражается; в каждой области все волны одной частоты и направления складываются в одну синусоидальную волну, так что неизвестных всего четыре комплексных амплитуды. Условия «нет отражённой волны» и «зеркала не поглощают» вместе определяют фазы коэффициентов отражения и пропускания. Энергию в импульсе можно найти как половину накопленной в интерферометре.

a) из условия отсутствия отражённого света \(|r^2-t^2|=1\) вместе с \(|r|^2+|t|^2=1\) следует, что \(r\) и \(t\) не могут иметь одинаковую фазу;  b) \(|\phi|=\dfrac\pi2=90^\circ\);  c) \(E\approx\dfrac{PL}{(1-R)\,c}\) (половина запасённой энергии \(U\approx\dfrac{2PL}{(1-R)\,c}\));  d) \(T\approx\dfrac{L}{(1-R)\,c}\).

Что происходит. Свет входит в промежуток между зеркалами и много раз отражается: после каждого отражения немного света выходит наружу, и все волны, выходящие назад, к лазеру, взаимно гасятся. Между зеркалами при этом накапливается мощность в \(1/(1-R)\) раз больше падающей. Из условия «отражённого пучка нет» следует связь между коэффициентами отражения и пропускания зеркала, а из того, что зеркало не поглощает, — ещё одна; вместе они дают сдвиг фаз \(90^\circ\). Дальше интерферометр — это накопитель энергии: после выключения лазера запасённая энергия уходит в обе стороны поровну, а импульс затухает за время порядка \(L/\big((1-R)c\big)\). Главная идея: все волны в каждой области одинаковой частоты, поэтому их сумма — одна волна с комплексной амплитудой.

Рис. 2. Многократные отражения (лучи нарисованы под малым углом для наглядности, на самом деле пучок идёт по нормали). Слева выходят волны с амплитудами \(rA\), \(t^2re^{2ikL}A\), \(t^2r^3e^{4ikL}A\), …, справа — \(t^2e^{ikL}A\), \(t^2r^2e^{3ikL}A\), …

Обозначения. Ось \(x\) направим по нормали к зеркалам, зеркала стоят в \(x=0\) и \(x=L\), пучок приходит из области \(x<0\). Волны монохроматические, \(\propto e^{-i\omega t}\), волновое число \(k=\omega/c\), комплексные амплитуды обозначим буквами. Области: I — \(x<0\), II — \(0<x<L\), III — \(x>L\). Для каждого зеркала \(r\) — отношение комплексной амплитуды отражённой волны к падающей, \(t\) — прошедшей к падающей (эти числа комплексные); \(R=|r|^2\) — доля отражённой мощности, \(|t|^2=1-R\) — прошедшей, так как зеркала не поглощают. Зеркала симметричны, поэтому \(r\) и \(t\) одинаковы для света, падающего с любой стороны. Все волны идут в воздухе с одной скоростью, поэтому мощность волны пропорциональна квадрату модуля её амплитуды. Сдвиг фазы \(\phi\) — это разность фаз прошедшей и отражённой волн, \(\phi=\arg t-\arg r\) (по модулю его и спрашивают в b).

a) Почему нужен сдвиг фазы.

Вид волн в областях. В каждой области свет — суперпозиция бесконечно многих волн, отличающихся числом отражений. Сумма синусоидальных волн одной частоты, длины волны и направления сама синусоидальна с той же частотой, длиной волны и направлением. Поэтому \[\text{I:}\ \ E=A\,e^{i(kx-\omega t)},\qquad \text{II:}\ \ E=B\,e^{i(kx-\omega t)}+C\,e^{i(-kx-\omega t)},\qquad \text{III:}\ \ E=D\,e^{i(kx-\omega t)}.\] В области I по условию нет волны, идущей назад (отражённый пучок исчез), в области III идёт только прошедшая волна, в области II — две волны навстречу друг другу.

Рис. 3. Три области и волны в них. Волна \(B\) — вперёд, \(C\) — назад, отражённой в области I нет.

Условия на зеркалах. Прямая волна в области II складывается из прошедшей части падающей волны и отражённой части обратной волны \(C\) у зеркала \(x=0\): \[B=tA+rC .\] Волна, идущая назад в области I, должна исчезнуть: отражённая часть падающей волны и прошедшая часть волны \(C\) погашают друг друга: \[0=rA+tC .\] У второго зеркала \(x=L\) (амплитуды берём в этой точке): в области III идёт только прошедшая часть волны \(B\), а обратная волна в II — это отражённая часть \(B\), внешней падающей волны справа нет: \[De^{ikL}=tBe^{ikL},\qquad Ce^{-ikL}=rBe^{ikL}.\] Из последнего уравнения \(C=rBe^{2ikL}\). Из второго \(A=-tC/r\), и подстановка в первое даёт \(B=tA+rC=C\,\dfrac{r^2-t^2}{r}\). Приравняем два выражения для \(C\) через \(B\): \(B=C\,e^{-2ikL}/r\) и \(B=C\,(r^2-t^2)/r\), откуда \[e^{-2ikL}=r^2-t^2 \quad\Longrightarrow\quad |r^2-t^2|=1 .\] Проверка через сумму лучей на рисунке 2: отражённая волна \(rA\left[1+t^2e^{2ikL}\big(1+r^2e^{2ikL}+r^4e^{4ikL}+\dots\big)\right]=rA\left[1+\dfrac{t^2e^{2ikL}}{1-r^2e^{2ikL}}\right]\) равна нулю, то есть \(1-r^2e^{2ikL}+t^2e^{2ikL}=0\) — то же самое условие.

Сохранение энергии. Зеркало не поглощает свет, поэтому падающая мощность равна сумме отражённой и прошедшей: \[|r|^2+|t|^2=1 .\]

Вывод. Предположим, что сдвига фазы нет, то есть \(r=\sqrt R\,e^{i\alpha}\) и \(t=\sqrt{1-R}\,e^{i\alpha}\) с общей фазой \(\alpha\). Тогда \(|r^2-t^2|=|R-(1-R)|=|2R-1|\), а это равно \(1\) только при \(R=0\) или \(R=1\) — зеркало либо прозрачное, либо непрозрачное. Для частично отражающего зеркала \(0<R<1\) условие \(|r^2-t^2|=1\) выполнить нельзя. Значит, фазы \(r\) и \(t\) обязательно различаются: при прохождении зеркала возникает ненулевой сдвиг фазы \(\phi\).

b) Величина сдвига. Запишем \(r=\sqrt R\,e^{i\alpha}\), \(t=\sqrt{1-R}\,e^{i\beta}\), \(\phi=\alpha-\beta\). Тогда \[|r^2-t^2|^2=R^2+(1-R)^2-2R(1-R)\cos2\phi=1 .\] Поскольку \(R^2+(1-R)^2=1-2R(1-R)\), получаем \[-2R(1-R)-2R(1-R)\cos2\phi=0\quad\Longrightarrow\quad\cos2\phi=-1\quad\Longrightarrow\quad |\phi|=\frac\pi2 .\] Геометрически: числа \(a=r^2\) и \(b=t^2\) на комплексной плоскости удовлетворяют условиям \(|a-b|=1\) и \(|a|+|b|=1\); расстояние \(|a-b|\) равно сумме \(|a|+|b|\) длин сторон треугольника \(Oab\) только тогда, когда \(O\) лежит на отрезке между \(a\) и \(b\), то есть \(r^2\) и \(t^2\) направлены противоположно, а их аргументы различаются на \(\pi\), значит аргументы \(r\) и \(t\) — на \(\pm\pi/2\).

Рис. 4. Числа \(a=r^2\) и \(b=t^2\) при \(R=0{,}7\): слева произвольный угол, расстояние \(|a-b|\) меньше \(|a|+|b|=1\); справа \(a\) и \(b\) противоположны, \(|a-b|=1\) — единственный допустимый случай.

Обратите внимание: сами фазы \(r\) и \(t\) зависят от выбора опорных плоскостей зеркала, а разность \(\phi\) — нет. Для \(r=i\sqrt R\), \(t=\sqrt{1-R}\) получаем \(r^2-t^2=-1\) и \(e^{-2ikL}=-1\), то есть \(L=(2m+1)\lambda/4\); для \(r=\sqrt R\), \(t=i\sqrt{1-R}\) — \(r^2-t^2=1\) и привычное \(L=m\lambda/2\).

c) Энергия обратного импульса.

Мощности между зеркалами. Из \(0=rA+tC\) получаем \(|C|^2=\dfrac{R}{1-R}|A|^2\), а из \(C=rBe^{2ikL}\) — \(|B|^2=\dfrac{|C|^2}{R}=\dfrac{|A|^2}{1-R}\). Мощность падающего пучка \(P=|A|^2\) (в тех же единицах), тогда \[P_B=\frac{P}{1-R},\qquad P_C=\frac{RP}{1-R}\approx\frac{P}{1-R}.\] Проверка: прошедшая мощность \(|D|^2=(1-R)P_B=P\), то есть вся мощность проходит, как требует условие. Мощность в промежутке в \(1/(1-R)\gg1\) раз больше падающей, а две встречные волны почти одинаковы по мощности: разность \(P_B-P_C=P\) — это мощность, уходящая наружу, и она мала по сравнению с каждой из них.

Запасённая энергия. Волна мощностью \(P_B\) проходит промежуток за время \(L/c\), значит, энергия обеих волн между зеркалами \[U=(P_B+P_C)\,\frac Lc\approx\frac{2PL}{(1-R)\,c}.\]

Что уходит назад. Когда лазер выключили, запасённая энергия выходит через оба зеркала. Две встречные волны в промежутке почти одинаковы, поэтому выход почти симметричен: назад, к лазеру, уходит примерно половина: \[E\approx\frac U2=\frac{PL}{(1-R)\,c}.\]

Точный расчёт. Пусть \(\Delta t=2L/c\) — время полного двойного прохода. После того как фронт выключенного пучка дошёл до первого зеркала, из суммы отражённых волн сразу исчезает слагаемое, соответствующее мгновенному отражению (\(rA\)); слагаемое, в котором свет прошёл \(N\) двойных проходов, остаётся ещё на время \(N\Delta t\). В интервале с номером \(n\) (\(n\Delta t<t<(n+1)\Delta t\)) остаются слагаемые с \(N>n\): \[\sum_{N>n}rt^2r^{2N-2}e^{2iNkL}A=\frac{rt^2\,r^{2n}e^{2i(n+1)kL}}{1-r^2e^{2ikL}}\,A=-r^{2n+1}e^{2inkL}A ,\] где использовано \(1-r^2e^{2ikL}=-t^2e^{2ikL}\) (из \(e^{-2ikL}=r^2-t^2\)). Мощность в этом интервале равна \(R^{2n+1}P\), и каждый интервал длится \(\Delta t\): \[E=\Delta t\,P\,R\,(1+R^2+R^4+\dots)=\frac{2L}{c}\cdot\frac{PR}{1-R^2}\approx\frac{PL}{(1-R)\,c}\quad(1-R\ll1),\] то же значение, что и в оценке через симметрию. В официальном решении эта сумма записана с опечаткой (\(|r|^2+|r|^6+|r|^8+\dots\) вместо \(|r|^2+|r|^6+|r|^{10}+\dots\)), итоговый ответ там верный.

d) Длительность импульса. Из точного решения видно, что мощность обратного пучка уменьшается в \(R^2\) раз за каждые \(\Delta t=2L/c\), то есть примерно экспоненциально: \(P_{\text{обр}}\propto R^{2t/\Delta t}=e^{-t/T}\) с \[T=\frac{\Delta t}{2\ln(1/R)}\approx\frac{L}{(1-R)\,c},\] так как \(\ln(1/R)\approx1-R\) при \(1-R\ll1\). Это и есть длительность импульса по порядку величины; множитель порядка единицы зависит от того, как считать её: по спаду амплитуды или по спаду мощности.

Рис. 5. Мощность обратного импульса: ступени длительностью \(\Delta t=2L/c\) и высотой \(R^{2n+1}P\), пунктир — огибающая \(e^{-t/T}\). Для наглядности взято \(R=0{,}85\); в задаче \(1-R\ll1\), и ступеней очень много.

Ответ. \[\boxed{|\phi|=\frac\pi2},\qquad \boxed{E\approx\frac{PL}{(1-R)\,c}},\qquad \boxed{T\approx\frac{L}{(1-R)\,c}} .\]

Проверка. Размерность: \(PL/c\) — мощность на время, то есть энергия; \(L/c\) — время. Согласованность c) и d): импульс начинается с мощности \(RP\approx P\) и затухает за время \(T\), его энергия порядка \(P\cdot T=PL/\big((1-R)c\big)\), что совпадает с \(E\). Для оценки возьмём \(R=0{,}99\) и \(L=10\) см: \(T\approx\dfrac{0{,}1\text{ м}}{0{,}01\cdot3\cdot10^{8}\text{ м/с}}\approx33\) нс, много больше времени прохода \(L/c\approx0{,}33\) нс, как и должно быть для резонатора с \(1/(1-R)=100\) проходами. Смысл: интерферометр накапливает энергию как резонатор; обратный пучок гасится не отсутствием света, а интерференцией, поэтому при выключении лазера «погашенный» свет высвобождается, и половина запасённой энергии вылетает назад.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.