Интерферометр Фабри-Перо

Интерферометр Фабри-Перо (рис. 1) состоит из двух стеклянных пластин с высоко-отражающими покрытиями внутренних сторон, параллельных друг другу. В пространстве между пластинами свет может многократно переотражаться. Внешние стороны пластин не вполне параллельны внутренним, отражением от них можно пренебречь. Интерферометр можно использовать, например, для измерения плотности воздуха, который в него нагнетают. Свет от натриевой лампы, расположенной в фокусе линзы (коллиматоре), проходит через интерферометр. Пропускная способность интерферометра для пучка параллельных лучей:

\[T = \frac{1}{1 + F \sin^2 ({\delta}/{2})},\]

где \(F = {4R}/{(1-R)^2}\), \(R\) — коэффициент отражения внутренних поверхностей, \(\delta = {4 \pi n t \cos \theta}/{\lambda}\), \(n\) — коэффициент преломления воздуха в интерферометре, \(t\) — расстояние между отражающими поверхностями, \(\theta\) — расстояние между отражающими поверхностями, \(\lambda\) — длина волны.

Рис. 1

Натриевая лампа испускает две спектральные линии D1 (\(\lambda = 589.6~нм\)) и D2 (\(\lambda = 589.0~нм\)) и расположена между полюсами электромагнита, который вначале выключен. Оптический фильтр F1 пропускает только линию D1. В микроскоп, настроенный на фокальную плоскость линзы L2, фокусное расстояние которой \(f = 30~см\), наблюдаются интерференционные кольца. Положим коэффициент отражения \(R = 90 \%\) и расстояние \(t = 10~мм\).

Физические константы: \(h = 6.626 \cdot 10^{-34} ~Дж \cdot с\), \(e = 1.6 \cdot 10^{-19}~ Кл\), \(m_e = 9.1 \cdot 10^{-31}~ кг\), \(c = 3.0 \cdot 10^8~ м/c\).

A1. Рассчитайте для линии D1 (\(\lambda = 589.6~нм\)) в случае вакуума (\(n = 1.0\)) порядок интерференции \(m_i\), угол падения \(\theta_i\) и диаметр \(D_i\) для первых трёх светлых колец \(i = 1, 2, 3\).

A2. Как показано на рис. 2, ширина \(\varepsilon\) спектральной линии определяется на половине высоты графика зависимости пропускающей способности от фазового сдвига \(\delta\). Разрешающая способность интерферометра Фабри-Перо определяется так: cпектральные линии \(\lambda\) и \(\lambda + \Delta \lambda\) считаются разрешёнными, если разница \(\Delta \delta\) между фазовыми сдвигами, соответствующих максимумам спектральных линий, больше \(\varepsilon\) (рис. 2). Таким образом разрешающая способность интерферометра равна \(\lambda/\Delta \lambda\) при \(\Delta \delta = \varepsilon\). Для вакуумированного интерферометра, линии D1 (\(\lambda = 589.6~нм\)) и угла падения \(\theta = 0\) рассчитайте ширину спектрально линии \(\varepsilon\) и разрешающую способность \(\lambda/\Delta \lambda\) интерферометра.

Рис. 2

A3. Пусть в начальный момент давление воздуха в интерферометре равно нулю, т.е. между пластинами интерферометра вакуум (\(n = 1.0\)). Вентиль (рис. 1) медленно открывают, и воздух постепенно заполняет интерферометр, достигая в итоге атмосферного давления. При этом из центра фокальной плоскости линзы L2 «вырастают» 10 новых интерференционных колец. Основываясь на этом факте, рассчитайте коэффициент преломления воздуха \(n_{air}\) при атмосферном давлении.

В магнитном поле уровни энергии атома натрия расщепляются. Это явление называется эффектом Зеемана. Сдвиг уровня энергии:

\[\Delta E = m_j g_k \mu_B B,\]где магнитное квантовое число \(m_j\) может принимать значения \(J\), \(J-1\), ..., \(-J+1\), \(-J\), (\(J\) — орбитальное квантовое число), \(g_k\) — множитель Ландау, \(\mu_B = \frac{h e}{4 \pi m_e}\), \(h\) — постоянная Планка, \(e\) — элементарный заряд, \(m_e\) — масса электрона, \(B\) — индукция магнитного поля. Как показано на рис. 3, линия D1 излучается при переходе атома натрия с уровня \({}^2P_{1/2}\) на \({}^2S_{1/2}\), для которых \(J = 1/2\). Таким образом, в магнитном поле каждый из уровней расщепляется на два подуровня (рис. 3). Обозначим расстояния между расщепившимися подуровнями энергий \(\Delta E_1\) для уровня \({}^2P_{1/2}\) и \(\Delta E_2\) для уровня \({}^2S_{1/2}\) (\(\Delta E_1 < \Delta E_2\)). В результате линия D1 расщепляется на 4 спектральных линии (a, b, c, d) как показано на рис. 3.

Рис. 3

A4. Запишите выражения для частот (\(\nu\)) всех четырёх линий.

A5. После включения магнитного поля, каждое интерференционное кольцо линии D1 расщепляется на 4 кольца: 1, 2, 3, 4 (см. рис. 4). Диаметры колец, произошедших от самого маленького интерференционного кольца, равны \(D_1\), \(D_2\), \(D_3\) и \(D_4\). Получите выражения для расстояний между подуровнями \(\Delta E_1\) уровня \({}^2P_{1/2}\) и \(\Delta E_2\) уровня \({}^2S_{1/2}\).

Рис. 4

A6. Для магнитного поля \(B = 0.1~Тл\), диаметры расщепившихся колец равны: \(D_1 = 3.88~мм\), \(D_2 = 4.05~мм\), \(D_3 = 4.35~ мм\), \(D_4 = 4.51~мм\).

Рассчитайте множители Ландау \(g_{k1}\) для уровня \({}^2P_{1/2}\) и \(g_{k2}\) для уровня \({}^2S_{1/2}\).

A7. Магнитное поле солнца можно определить по измерению расщеплению Зеемана натриевой линии D1 солнца. При наблюдении спектра солнца было установлено, что разница длин волн между самой коротковолновой и самой длинноволновой линиями в расщеплении равна \(0.012~нм\). Определите магнитное поле \(B\) солнца.

A8. Излучение полупроводникового лазера с длиной волны \(\lambda = 650~нм\) и спектральной шириной \(\Delta \lambda = 20~нм\) попадает в вакуумированный интерферометр Фабри-Перо под углом \(\theta = 0\). Рассчитайте количество спектральных линий и их спектральную ширину \(\Delta \nu\) на выходе из интерферометра.