Дробный квантовый эффект Холла

Дробный квантовый эффект Холла (ДКЭХ) был обнаружен Д.К. Цуи и Г. Стормером в 1981 году. В эксперименте электроны могли двигаться только вдоль поверхности пластинки, изготовленной из GaAs/AlGaAs (т.е. толщиной электронного слоя можно пренебречь). Перпендикулярно к электронной системе было приложено сильное однородное магнитное поле. Прохождение тока \(I\) по поверхности пластинки приводит к появлению Холловской разности потенциалов \(V_H\), а при достаточно низких температурах на кривой зависимости Холловского сопротивления от величины магнитного поля появляется плато, которое соответствует Холловскому сопротивлению \(R_H = 3h/e^2\). Появление этого плато свидетельствует о наличии квазичастиц с дробным зарядом, которые будут рассмотрены ниже.

В классической модели электроны на поверхности пластинки GaAs/AlGaAs ведут себя как заряженные шарики с некоторой эффективной массой \(m^*\).

A1. Запишите уравнение движения электрона в перпендикулярном электрическом \(\vec E=-E_y\hat y\) и магнитном \(\vec B=B \hat z\) полях, где \(\hat x\), \(\hat y\) и \(\hat z\) — единичные вектора по направлениям осей \(\mathrm X\), \(\mathrm Y\) и \(\mathrm Z\).

A2. Найдите установившуюся скорость электронов \(v_s\).

A3. Укажите направление этой скорости.

B1. По определению Холловское сопротивление \(R_H=V_H/I\). Представьте \(R_H\) как функцию от числа свободных электронов \(N\) на поверхности пластинки и магнитного потока \(\phi\) через пластинку, который равен \(\phi =BWL\), где \(W\) и \(L\) — ширина и длина пластинки соответственно.

C1. Из квантовой механики следует, что внешнее магнитное поле приводит к появлению коллективного движения электронов, которое можно рассматривать как круговые вихри. Количество вихрей определяется тем, что на создание одного вихря требуется поток внешнего магнитного поля, равный \(h/e\), где \(h\) — постоянная Планка, а \(e\) — заряд электрона. Для случая \(R_H=3h/e^2\), найдите коэффициент заполнения \(\nu\), который представляет собой отношение числа электронов \(N\) на поверхности пластинки к числу вихрей \(N_\phi\).

D1. Если на один электрон приходится более одного вихря, то это приводит к дополнительному отталкиванию электронов, энергия которого \(\Delta U(B) \varpropto B^\alpha\) оценивается как средняя электростатическая энергия взаимодействия двух электронов при фиксированном коэффициенте заполнения. Определите коэффициент \(\alpha\).

E1. Некоторые вихри не связаны с электронами и могут быть рассмотрены как квазичастицы, способные нести дробный заряд \(e^*=e/n\), где \(\nu=1/n\). На какую величину \(\Delta B\) надо изменить индукцию внешнего поля для того, чтобы в системе возникла одна квазичастица.

В рассматриваемом эксперименте величина индукции внешнего магнитного поля

для плато \(R_H=3h/e^2\) была равной \(B_{1/3}=15~Тл\).

• Эффективная масса электрона в пластинке GaAs \(m^*=0.067m_e\),

• Масса электрона \(m_e = 9.1 \cdot 10^{-31}~ кг\),

• Постоянная в законе Кулона \(k = 9.0 \cdot 10^9~Н \cdot м^2/Кл^2\),

• Диэлектрическая постоянная \(\varepsilon_0 = 1/4\pi k = 8.854 \cdot 10^{-12}~Ф/м\),

• Элементарный заряд \(e = 1.6 \cdot 10^{-19}~ Кл\),

• Постоянная Планка \(h = 6.626 \cdot 10^{-34}~Дж \cdot с\),

• Постоянная Больцмана \(k_B= 1.38 \cdot 10^{-23}~ Дж/К\).

F1. Вычислите тепловую энергию электрона \(E_{th}\) при температуре \(T= 1.0~ К\).

F2. Из законов квантовой механики следует, что для того чтобы поместить два электрона в один вихрь требуется затратить достаточно большую энергию. Оцените её, используя принцип неопределенности.

Как видно из рисунка существует несколько плато с \(R_Н=h/ie^2\), где \(i=1,2,3...\) — целое число. Это явление получило название целочисленного эффекта Холла. В отличие от него дробный эффект Холла связывают с существованием квазичастиц с дробным зарядом, что было подтверждено в 1997 году, когда была проведена серия экспериментов при коэффициенте заполнения \(\nu = 1/3\), в которых определялся так называемый уровень шума при измерениях электрического тока через очень малый контакт (квантовая точка). В простейшей статистической модели число носителей \(n_{\tau}\) с зарядом \(e^*\), проходящих через такой контакт в течение малого интервала времени \(\tau\), подчиняется распределению вероятности Пуассона с параметром \(\lambda\):

\[P(n_\tau=k)=\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!},\]где \(k!\) — факториал числа \(k\). Вам может понадобиться следующая формула:

\[e^{\lambda}=\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{\lambda^k}{k!}.\]

G1. Найдите силу тока через контакт \(I_В\) как функцию \(\lambda\) и \(\tau\).

G2. Шум электрического тока обусловлен его флуктуациями, т.е. отклонениями от среднего значения. Уровень шума характеризуется величиной \(S_I\), определяемой как среднее от квадрата отклонения электрического заряда от его среднего значения в единицу времени. Найдите уровень шума \(S_I\) как функцию \(\lambda\) и \(\tau\).

G3. Найдите отношение уровня шума к величине тока \(S_I/I_B\).