Диск Корбино

1. Кольца являются хорошими проводниками, а потому задают две эквипотенциальные поверхности вне зависимости от места подключения к ним проводов от источника. Следовательно, в силу симметрии достаточно найти зависимость \(E\) от расстояния \(r\) до центра диска. Пусть \(e\) — заряд электрона, \(n\) — концентрация электронов, участвующих в создании тока, \(v\) — средняя скорость установившегося движения электронов, тогда плотность тока вычисляется по формуле \[j = env = en\mu E,\qquad (231)\] причём вектор напряжённости направлен вдоль радиуса, как и ток. В стационарном режиме в образце толщиной \(h\) сила тока \(I = j\cdot2\pi rh = 2\pi hen\mu\cdot Er\) не зависит от \(r\), поэтому \(E = A/r\), где \(A\) — константа, определяемая из условия, что разность потенциалов между кольцами равна \(U\): \[\int\limits_{r_1}^{r_2}E\,dr = A\ln\dfrac{r_2}{r_1} = U,\] откуда \[E = \dfrac{U}{\ln(r_2/r_1)}\cdot\dfrac1r.\] 2. Изменение сопротивления между кольцами при приложении внешнего магнитного поля обусловлено отличием радиальной компоненты плотности тока \(j_\parallel\) от определяемой выражением (231) величины \(j\) в отсутствие поля. Из-за силы Лоренца электроны начинают двигаться по искривлённым траекториям, имея ненулевые радиальную \(v_\parallel\) и тангенциальную \(v_\perp\) составляющие скорости (рис. 188). Средняя скорость установившегося движения электрона в образце \(\vec v = \mu\vec F/e\), где \(\vec F\) — суммарная внешняя сила, действующая на электрон. В частном случае, когда есть только электрическое поле, это выражение сводится к формуле, приведённой в условии. Учитывая это, найдём проекции скорости: \[v_\parallel = \mu(E - v_\perp B),\qquad v_\perp = \mu v_\parallel B,\] откуда \[v_\parallel = \dfrac{\mu E}{1 + \mu^2B^2},\qquad\text{а}\qquad j_\parallel = env_\parallel = \dfrac{en\mu E}{1 + \mu^2B^2}.\]

Сравнивая \(j_\parallel\) с \(j\) в отсутствие поля, видим, что при неизменном напряжении \(U\) ток уменьшился в \((1 + \mu^2B^2)\) раз, следовательно, сопротивление возросло в то же число раз: \[R = R_0(1 + \mu^2B^2).\]