Бросание мяча с небоскрёба

Поскольку временной интервал между пролётами мячей одинаковый на уровне земли и 100-го этажа, последние 100 этажей мячи летели с постоянной скоростью в режиме установившегося движения. А так как второй мяч падал с уровня 200-го этажа, он достиг установившейся скорости за время пролёта не более 100 этажей. Следовательно, первый мяч летел с этой скоростью с момента пролёта мимо балкона 200-го этажа в течение всего времени совместного движения мячей.

Пусть \(m\) — масса мяча, \(v\) — его скорость, \(F = -kv\) — сила сопротивления воздуха, тогда из условия равномерного движения мяча \[mg - kv_0 = 0\qquad (130)\] находим его установившуюся скорость \(v_0 = mg/k\). Поскольку второй мяч упал на землю через время \(\tau\) после первого, в момент падения первого мяча второй находился на высоте \[h = v_0\tau = \dfrac{m}{k}\,g\cdot\tau.\qquad (131)\] Для нахождения отношения \(m/k\) рассмотрим движение второго мяча в инерциальной системе отсчёта, связанной с первым мячом, то есть движущейся со скоростью \(v_0\). В начальный момент, когда был отпущен второй мяч, оба мяча имели одинаковую вертикальную координату \(y = 0\). Первый мяч в этой системе отсчёта всё время покоится, а второй имел начальную скорость \(v_0\), направленную вверх. Уравнение движения второго мяча имеет вид \[ma = -mg - k(v - v_0) = -kv,\qquad (132)\] где учтено, что сила сопротивления воздуха пропорциональна скорости мяча относительно воздуха, и использовано условие (130). Хотя ускорение и скорость не остаются постоянными в течение всего движения, их можно считать почти постоянными в течение малого промежутка времени \(\Delta t\), тогда \(a\Delta t\) и \(v\Delta t\) — изменения скорости и координаты за этот промежуток времени. Домножив (132) на \(\Delta t\) и просуммировав эти изменения за всё время движения, получим уравнение \[m\Delta v = -k\Delta y.\qquad (133)\] К моменту падения второй мяч останавливается относительно первого мяча, достигая точки с координатой \(y = h\) в движущейся системе отсчёта. Подставив \(\Delta v = 0 - v_0\) и \(\Delta y = h - 0\) в уравнение (133), находим \[h = \dfrac{mv_0}{k} = \dfrac{m}{k}\,g\cdot\dfrac{m}{k}.\qquad (134)\] Приравняв выражения (131) и (134), получим \(m/k = \tau\). Следовательно, \(h = g\tau^2 = 22\) м.