Кот Леопольд и камень из рогатки

При движении камня в поле тяготения \[\vec v_t = \vec v_0 + \vec g\,t,\qquad (1)\] где \(t\) — время от начала движения камня (рис. 52, а).

Вектор перемещения камня \[\vec s(t) = \vec v_0t + \vec g\,\dfrac{t^2}{2} = \dfrac{2\vec v_0 + \vec g\,t}{2}\,t = \dfrac{\vec v_0 + (\vec v_0 + \vec g\,t)}{2}\,t = \dfrac{\vec v_0 + \vec v_t}{2}\,t.\] Тогда для момента \(\tau\) найдём перемещение камня \[|\vec s(\tau)| = \left|\dfrac{\vec v_0 + \vec v_{\text{к}}}{2}\right|\tau.\qquad (2)\] Из рис. 52, б видим, что в силу перпендикулярности векторов \(\vec v_0\) и \(\vec v_{\text{к}}\) (как диагонали прямоугольника) \[|\vec v_0 + \vec v_{\text{к}}| = |\vec v_{\text{к}} - \vec v_0| = g\tau.\qquad (3)\] Подставив (3) в (2), находим \[|\vec s| = \dfrac{g\tau^2}{2},\text{ или }S \approx 5\text{ м}.\]