Катапульта на движущейся платформе

Начальная скорость камня относительно земли — сумма скорости катапульты и скорости вылета. Угол максимальной дальности теперь не \(45^\circ\): удобно воспользоваться геометрией векторов, так как скорости равны по модулю.

\(S_1=\dfrac{3\sqrt3}{2}S\approx 58{,}5\) м (угол вылета относительно катапульты \(60^\circ\)).

9-1. Хорошо известно, что максимальная дальность полета тела, брошенного под углом к горизонту, достигается при угле вылета равном \(45^\circ\) и определяется формулой

\[S = \frac{v_0^2}{g}.\tag{1}\]

Из этой формулы можно найти скорость, которую катапульта сообщает камню

\[v_0 = \sqrt{gS} = 15 \text{ м/с}.\]

Рассмотрим теперь полет камня, выпущенного из движущейся катапульты. Введем систему координат, оси которой: \(X\) — направлена горизонтально, а \(Y\) — вертикально. Начало координат совместим с положением катапульты в момент вылета камня.

Для вычисления вектора скорости камня необходимо учесть горизонтальную скорость движения катапульты \(v = v_0\). Допустим, что катапульта выбрасывает камень под углом \(\alpha\) к горизонту. Тогда компоненты начальной скорости камня в нашей системе координат могут быть записаны в виде

\[\begin{aligned} v_{x0} &= v_0 + v_0 \cos \alpha \\ v_{y0} &= v_0 \sin \alpha \end{aligned}.\tag{2}\]

Закон движения камня имеет вид

\[\begin{aligned} x &= v_{x0} t = v_0 (1 + \cos \alpha) t \\ y &= v_{y0} t - \frac{g t^2}{2} = v_0 t \sin \alpha - \frac{g t^2}{2}. \end{aligned}\tag{3}\]

Из второго уравнения системы (3) найдем время полета, положив \(y = 0\),

\[\tau = \frac{2 v_0 \sin \alpha}{g}.\tag{4}\]

Подставив это выражение в первое уравнение системы (3), получим дальность полета камня

\[S _ { 1 } = v _ { 0 } ( 1 + \cos \alpha ) \frac { 2 v _ { 0 } \sin \alpha } { g } .\tag{5}\]

Отвлечемся немного от решения данной конкретной задачи и порассуждаем о полученном выражении. Во-первых, если катапульта неподвижна (\(v = 0\)), то формула (5) переходит в известное выражение для дальности полета тела, брошенного с начальной скоростью под углом \(\alpha\) к горизонту

\[S' = \frac{2v_0^2 \sin \alpha \cos \alpha}{g}.\tag{6}\]

Во-вторых, из (5) совсем не следует, что \(S_1\) будет максимально при \(\alpha = 45^0\) (это справедливо для (6), когда \(v = 0\)).

Предлагая эту задачу на республиканскую олимпиаду, авторы были убеждены, что девять десятых участников получат формулу (5) и затем подставят в нее значение \(\alpha = 45^0\). Однако, к нашему сожалению, мы ошиблись: ни один из олимпийцев не усомнился в том, что максимальная дальность полета всегда (!) достигается при угле вылета, равном \(45^0\). Этот широко известный факт имеет ограниченные рамки применимости: он справедлив только, если: а) не учитывать сопротивление воздуха; б) точка вылета и точка падения находятся на одном уровне; в) метательный снаряд неподвижен.

Вернемся к решению задачи. Итак, нам необходимо найти значение угла \(\alpha\), при котором \(S_1\), определяемое формулой (5), максимально. Можно, конечно, найти экстремум функции, используя аппарат дифференциального исчисления: найти производную, положить ее равной нулю и, решив полученное уравнение, найти искомое значение \(\alpha\). Однако учитывая, что задача была предложена ученикам 9-х классов, мы дадим ее геометрическое решение. Воспользуемся тем обстоятельством, что \(v = v_0 = 15 \text{ м/с}\).

Расположим векторы \(\vec{v}\) и \(\vec{v}_0\) как показано на рис. Так как их длины равны, то вокруг них можно описать окружность с центром в точке \(O\). Тогда длина отрезка \(\text{АС}\) равна \(v_0 + v_0 \cos \alpha\) (это есть \(v_{x0}\)), а длина отрезка \(\text{ВС}\) равна \(v_0 \sin \alpha\) (это \(v_{y0}\)). Их произведение равно удвоенной площади треугольника \(\text{АВС}\), или площади треугольника \(\text{АВВ}_1\). Обратите внимание, что именно произведение \(v_{x0} v_{y0}\) входит в

выражение для дальности полета (5). Иными словами, дальность полета равна произведению площади \(\Delta \text{АВВ}_1\) на постоянный множитель \(\frac{2}{g}\). А теперь зададимся вопросом: какой из вписанных в данную окружность треугольников имеет максимальную площадь? Естественно, правильный! Поэтому искомое значение угла \(\alpha = 60^0\).

Вектор \(A\vec{B}\) есть вектор полной начальной скорости камня, он направлен под углом \(30^0\) к горизонту (опять же отнюдь не \(45^0\)).

Таким образом, окончательное решение задачи следует из формулы (5), в которую следует подставить \(\alpha = 60^0\).

\[S_1 = \frac{2v_0^2}{g}(1 + \cos 60^0)\sin 60^0 = S\frac{3\sqrt{3}}{2} = 58{,}5\text{м}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.