Клин в аквариуме

Сила давления воды на наклонную грань клина (по среднему давлению) стремится поднять клин; ей противодействуют сила тяжести и трение о стенку. Максимальный уровень соответствует началу подъёма клина.

\(H=\sqrt{\dfrac{2M}{\rho l(\operatorname{tg}\alpha-\mu)}}\) при \(\mu<\operatorname{tg}\alpha\); при \(\mu\ge\operatorname{tg}\alpha\) клин не поднимется при любом уровне воды.

9-3. Пусть в рассматриваемый момент уровень воды в аквариуме равен \(H\). Тогда среднее давление жидкости на клин \(P_{\text{ср}} = \frac{1}{2} \rho g H\), соответственно средняя сила давления

\[F_{\text{Д}} = \frac{1}{2} \rho g H l \frac{H}{\cos \alpha},\tag{1}\]

где \(l\) — ширина клина. Сила \(\vec{F}_{\text{Д}}\) стремится приподнять клин, а силы тяжести и трения препятствуют этому. Понятно, что если при некотором значении \(H\) клин все же будет приподнят, таким образом вода начнется выливаться из аквариума и клин опуститься.

Таким “автоколебательным” режимом и будет установлен возможный максимальный уровень жидкости в аквариуме. Условие равновесия клина

\[M\vec{g} + \vec{F}_{mp} + \vec{F}_{\text{Д}} + \vec{N} = \vec{0}.\tag{2}\]

Атмосферным давлением, обратите внимание, мы, записывая (2), пренебрегли. Подумайте самостоятельно, почему оно не вошло в значение \(P_{\text{ср}}\). В проекциях на оси ОХ и OY

\[F_{\text{Д}} \cos \alpha = N,\tag{3}\]

\[F_{\text{Д}} \sin \alpha = Mg + F_{mp}.\tag{4}\]

В предельном случае (клин начинает подниматься)

\[F_{mp} = \mu N = \mu F_{\text{Д}} \cos \alpha.\]

И из (3)-(4) следует:

\[F_{\text{Д}} = \frac{Mg}{\sin \alpha - \mu \cos \alpha} = \frac{1}{2} \rho g \frac{l}{\cos \alpha} H^2,\]

откуда и получаем окончательный ответ

\[H = \sqrt{\frac{2M}{\rho l (\operatorname{tg} \alpha - \mu)}}.\tag{5}\]

Выясним, всегда ли справедлив ответ в форме (5). Подкоренное выражение не может быть отрицательным, поэтому сразу отмечаем, что (5) имеет смысл при \(\mu < \operatorname{tg} \alpha\). Физически это означает, что клин может быть поднят только не при очень сильном трении. А как быть при \(\mu \ge \operatorname{tg} \alpha\)? Понятно, что в этом случае условие (4) будет выполнено при значении силы трения \(F_{mp}\) меньше предельного (т. е. трением покоя). И воды, следовательно, можно наливать сколько угодно в аквариум — ее максимальный уровень уже будет определяться иными причинами (например, высотой стенок).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.