Два груза, соединённых пружиной

Левый груз сдвинется, когда сила упругости достигнет максимальной силы трения покоя. Работа постоянной силы идёт на работу трения и на энергию пружины в момент остановки правого груза.

\(F=\dfrac32\mu Mg\).

9-2. Для того, чтобы сдвинуть тело 2 с места, необходимо приложить к нему горизонтально силу, которая превышает максимальную силу трения покоя, которая в данном случае равна

\[F_{\text{тр}.2} = \mu Mg.\tag{1}\]

В качестве силы, которая сдвигает это тело, выступает сила упругости пружин, модуль которой, согласно закону Гука, равен

\[F_{\text{уп}\,p.} = k\Delta x,\tag{2}\]

где \(k\) — жесткость пружины, \(\Delta x\) — ее удлинение.

Таким образом, необходимо удлинить пружину (т. е. сдвинуть тело 1) на величину

\[\Delta x = \frac{\mu Mg}{k}.\tag{3}\]

Если мы приложим к телу 1 постоянную силу \(F\), таким образом его движение не будет равноускоренным, так как на него действует, помимо постоянной силы трения \(F_{\text{тр}.} = \mu Mg\), сила упругости \(F_{\text{уп}\,p.} = k\Delta x\), которая не является постоянной. Качественно движение тела 1, при неподвижном теле 2, можно описать следующим образом. Если сила \(\vec{F}\) по модулю превышает силу трения \(\vec{F}_{\text{тр}.1}\), то тело начнет двигаться с положительным ускорением, при этом сила упругости начнет возрастать, в некоторой точке \(F_{\text{упр.}}\) превысит разность \(F - F_{\text{тр.1}}\), и ускорение изменит свой знак. Тело 1 еще некоторое время будет двигаться в положительном направлении и затем остановиться. Максимальная деформация пружины будет в момент остановки тела. Эту максимальную деформацию \(\Delta x_1\) можно найти, воспользовавшись энергетическими соображениями: работа постоянной силы \(F\) числено равна изменению энергии пружины плюс работа силы трения. Кинетическая энергия тела в начальный и конечный моменты движения равна нулю.

\[F \Delta x_1 = \mu M g \Delta x_1 + \frac{k (\Delta x_1)^2}{2}\tag{4}\]

или

\[F = \mu M g + \frac{k \Delta x_1}{2}\tag{5}\]

Очевидно, что для ответа на поставленный в задаче вопрос следует положить в (5) \(\Delta x_1 = \Delta x\), определяемое (3). Окончательно получим

\[F = \mu M g + \frac{\mu M g}{2} = \frac{3}{2} \mu M g.\tag{6}\]

Обратите внимание на два обстоятельства:

1. Искомая сила равна сумме силы трения, действующей на тело 1, и половине (!) силы трения, действующей на тело 2;

2. Ответ не зависит от величины жесткости пружины. Подумайте, как объяснить эти обстоятельства в том случае, когда жесткость пружины очень велика (скажем, вместо пружины металлический стержень).

Не объясняет ли данная задача старую бурлацкую песню “поддернем, поддернем, да ухнем!”?

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.