Пластина на солнце

Поглощённая энергия отдаётся в воздух обеими сторонами пропорционально разностям температур; поток через пластину обратно пропорционален её толщине. Запиши баланс для двух толщин и реши систему.

\(T_1'=\dfrac{(T_1+T_2-2T_0)(2T_1-T_2-2T_0)}{2(T_1-T_0)},\quad T_2'=\dfrac{(T_2-T_0)(T_1+T_2-2T_0)}{2(T_1-T_0)}\).

9-5. В этой задаче необходимо использовать разумные предложения (которые, впрочем, формулируется в форме строгих физических законов).

Пусть освещенная сторона пластинки поглощает в единицу времени энергию \(q_0\). В состоянии теплового равновесия эта энергия излучается в окружающую среду как с освещенной (\(q_1\)), так и с затемненной (\(q_2\)) стороны. Причем можно считать, что количество отданной теплоты пропорционально разности температур поверхности и окружающего воздуха. Запишем условия теплового баланса

\[q_0 = q_1 + q_2 = a(T_1 - T_0) + a(T_2 - T_0),\tag{1}\]

где \(a\) — некоторая постоянная в рамках нашей задачи величина. Количество теплоты \(q_2\), излучаемое затемненной стороной, переноситься внутри пластины. Этот поток теплоты пропорционален скорости изменения температуры с расстоянием

\[q_2 = \kappa \frac{T_1 - T_2}{d} = a(T_2 - T_0),\tag{2}\]

где \(d\) — толщина пластины, \(\kappa\) — некоторый постоянный коэффициент (он называется теплопроводностью), зависящий от свойств материала, из которого изготовлена пластина. Аналогичные соотношения можно записать для пластины толщиной \(2d\).

\[q_0 = a(T'_1 - T_0) + a(T'_2 - T_0),\tag{3}\]

\[q'_2 = \kappa \frac{T'_1 - T'_2}{2d} = a(T'_2 - T_0),\tag{4}\]

где \(T'_2\) и \(T'_1\) — температуры освещенной и неосвещенной сторон пластины вдвое большей толщины.

Совместное решение системы уравнений (1)-(4) приводит к результату

\[T'_1 = \frac{(T_1 + T_2 - 2T_0)(2T_1 - T_2 - 2T_0)}{2(T_1 - T_0)},\]

\[T'_2 = \frac{(T_2 - T_0)(T_1 + T_2 - 2T_0)}{2(T_1 - T_0)}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.