Вытеснение воздуха из сосуда

Сила на поршень складывается из постоянной части (атмосферное давление) и части, связанной с давлением воды; работа второй равна изменению потенциальной энергии воды.

\(A=\dfrac{\rho gal h_0}{2}+P_0a^2l\left(1-\dfrac{h_0}{a}\right)\).

10-4. В ходе перемещения поршня на него действуют силы давления воздуха

\[F_1 = P_0 a(a - h)\tag{1}\]

и воды

\[F_2 = (\rho g \frac{h}{2} + P_0)ah\tag{2}\]

, где \(\rho\) -плотность воды, \(h\) - изменяющаяся высота уровня воды в сосуде, \(\rho g \frac{h}{2}\) - среднее давление воды на поршень. Так как поршень

плотно пригнан, то между ним и правой стенкой сосуда находится вакуум.

Чтобы совершенная работа была минимальна к поршню необходимо прикладывать силу, лишь незначительно превышающую силу давления воды и воздуха:

\[F = F_1 + F_2 = P_0 a^2 + \rho g a \frac{h^2}{2}.\tag{3}\]

Как следует из формулы (3) прикладываемая сила должна изменяться в ходе перемещения поршня, поэтому совершенную ею работу подсчитать сложно (необходимо использовать операцию интегрирования. Однако, первое слагаемое выражении (3) постоянно (поэтому работу этой силы \(A_1\) подсчитать не составляет труда), а работа оставшейся составляющей силы равна изменению потенциальной энергии воды \(A_2 = \Delta U\) (найти которое тоже не сложно).

Итак,

\[A_1 = P_0 a^2 x,\tag{4}\]

где \(x\) - смещение поршня, которое найдем из условия постоянства объема воды

\[l a h_0 = (l - x) a^2 \Rightarrow x = l \left(1 - \frac{h_0}{a}\right).\tag{5}\]

Следовательно, \(A_1 = P_0 a^2 l \left(1 - \frac{h_0}{a}\right)\).

Вычислим изменение потенциальной энергии воды по формуле

\[A_2 = \Delta U = \rho g (l - x) a \frac{a}{2} - \rho g l h_0 \frac{h_0}{2} = \frac{\rho g a l h_0}{2}.\tag{6}\]

Таким образом полная работа вычисляется по формуле

\[A = \frac{\rho g a l h_0}{2} + P_0 a^2 l \left(1 - \frac{h_0}{a}\right)\]

Заметим, что для не очень высоких сосудов (\(\rho g a \ll P_0\)) второе слагаемое значительно превышает первое, то есть основная работа совершается по преодолению силы атмосферного давления.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.