Шайба на ледяной горке

На склоне шайба движется так же, как брошенное под углом тело: вдоль основания — равномерно, поперёк — с постоянным ускорением. Чему равно это ускорение и что на рисунке даёт его значение?

\(\sin\alpha=\dfrac{2\,\Delta y\,v_0^2\cos^2\beta}{g\,\Delta x^2}\approx0{,}45\), \(\alpha\approx27^\circ\).

Что происходит. На ровном льду шайба летит со скоростью \(v_0\) под углом \(\beta\) к основанию горки. Въезд плавный, трения нет, поэтому модуль скорости сохраняется, а составляющая скорости вдоль основания не меняется: \(v_x=v_0\cos\beta\). Перпендикулярная основанию составляющая \(v_0\sin\beta\) после въезда направлена вверх по склону. На склоне на шайбу действуют сила тяжести и реакция льда. Их равнодействующая направлена вниз по склону и равна \(mg\sin\alpha\). Значит, вдоль основания шайба движется равномерно, а вверх по склону — с постоянным ускорением \(g\sin\alpha\), направленным вниз по склону. След — парабола, как у тела, брошенного под углом, но с ускорением \(g\sin\alpha\) вместо \(g\). Главная идея — по форме параболы на рисунке найти это ускорение.

Обозначения. Ось \(x\) — вдоль основания, ось \(s\) — вверх по склону (в плоскости склона). Начало отсчёта — в точке въезда на склон. Сетка рисунка 2, \(б\) лежит на самом склоне: клетка \(2{,}5\) м \(\times\) \(2{,}5\) м.

1. Закон движения. Вдоль \(x\) ускорения нет, вдоль \(s\) — ускорение \(-g\sin\alpha\) (второй закон Ньютона для шайбы в проекции на ось \(s\): \(ma_s=-mg\sin\alpha\); реакция льда перпендикулярна склону и проекции не даёт): \[x=v_0\cos\beta\cdot t,\qquad s=v_0\sin\beta\cdot t-\frac{g\sin\alpha}{2}\,t^2 .\]

2. Уравнение следа. Исключим время. Наивысшая точка следа достигается в момент \(t_*=\dfrac{v_0\sin\beta}{g\sin\alpha}\), когда скорость вдоль склона обращается в нуль; обозначим её координаты \(x_*\), \(s_*\). Для отсчёта от вершины параболы \(\Delta x=x-x_*=v_0\cos\beta\,(t-t_*)\), \(\Delta s=s-s_*=-\dfrac{g\sin\alpha}{2}(t-t_*)^2\), то есть \[\Delta s=-\frac{g\sin\alpha}{2v_0^2\cos^2\beta}\,\Delta x^2 .\] Вершина параболы на рисунке лежит на пересечении линий сетки. След проходит через узел сетки на \(3\) клетки вправо и на \(2\) клетки вниз от вершины, то есть через точку \(B\) с \(\Delta x=7{,}5\) м, \(\Delta y=5\) м (на рисунке \(\Delta y=-\Delta s\) вниз).

3. Угол. Подставим \(B\) в уравнение следа: \[\Delta y=\frac{g\sin\alpha}{2v_0^2\cos^2\beta}\,\Delta x^2 \;\Rightarrow\; \sin\alpha=\frac{2\,\Delta y\,v_0^2\cos^2\beta}{g\,\Delta x^2}.\] Числа: \(\cos^2\beta=0{,}25\), поэтому \[\sin\alpha=\frac{2\cdot5\ \text{м}\cdot100\ \text{м}^2/\text{с}^2\cdot0{,}25}{9{,}8\ \text{м/с}^2\cdot(7{,}5\ \text{м})^2}=\frac{250}{551}\approx0{,}45,\qquad \alpha\approx27^\circ .\] Обратите внимание: сетку на рисунке мы считаем нанесённой на плоскость склона, то есть длины на ней натуральные. Если считать её горизонтальной проекцией, расстояния вдоль склона сжаты в \(\cos\alpha\) раз, и получилось бы уравнение \(\sin2\alpha\approx0{,}91\) с двумя корнями, а не один угол.

Проверка. Размерность: \([\Delta y\,v_0^2/(g\,\Delta x^2)]=\text{м}\cdot\text{м}^2\text{с}^{-2}/(\text{м}\,\text{с}^{-2}\cdot\text{м}^2)=1\). Независимая проверка по двум точкам: по скану рисунка парабола хорошо ложится на \(\Delta y=0{,}089\,\Delta x^2\) (в метрах) на всём протяжении, а значение \(0{,}089\) получается из формулы при \(\alpha=27^\circ\) (\(g\sin\alpha/(2v_0^2\cos^2\beta)=9{,}81\cdot0{,}454/50=0{,}089\ \text{м}^{-1}\)). Предельный случай: \(\alpha\to0\) — ускорение исчезает, парабола вырождается в прямую; \(\alpha\to90^\circ\) — получается обычный бросок под углом с ускорением \(g\).

Ответ: \(\alpha\approx27^\circ\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.