Схема с тремя батареями

Напряжения на клеммах заданы, поэтому разности потенциалов узлов известны сразу. Примите потенциал одного узла за нуль и найдите потенциалы остальных.

1) По \(R_1\) — \(U/R\), по \(R_2\) — \(3U/R\), по \(R_3\) — \(2U/R\), все слева направо; 2) через \(U_1\) — \(2U/R\) (вверх, от «\(-\)» к «\(+\)» внутри батареи), через \(U_2\) — ток равен нулю, через \(U_3\) — \(3U/R\) (по нижней ветви справа налево).

Что происходит. В схеме четыре узла: левый \(A\) (весь левый провод), правый \(B\) (весь правый), верхний средний \(C\) и нижний средний \(D\). Батареи задают разности потенциалов между узлами: напряжение на клеммах батареи — это и есть разность потенциалов между её выводами, внутреннее сопротивление знать не нужно. Поэтому сначала находим потенциалы всех узлов, потом по закону Ома для участка цепи — токи в резисторах, а токи в батареях — по правилу узлов (первому правилу Кирхгофа).

Обозначения. Потенциал узла \(A\) примем за нуль: \(\varphi_A=0\). Положительный вывод батареи имеет больший потенциал: у \(U_1\) он сверху (соединён с \(C\)), у \(U_2\) слева (с \(D\)), у \(U_3\) слева (с \(A\)).

1. Потенциалы узлов. Батарея \(U_3\) включена между \(A\) (плюс) и \(B\) (минус): \(\varphi_A-\varphi_B=4U\), откуда \(\varphi_B=-4U\). Батарея \(U_2\) между \(D\) (плюс) и \(B\) (минус): \(\varphi_D-\varphi_B=2U\), откуда \(\varphi_D=-2U\). Батарея \(U_1\) между \(C\) (плюс) и \(D\) (минус): \(\varphi_C-\varphi_D=U\), откуда \(\varphi_C=-U\).

2. Токи в резисторах. Закон Ома для участка цепи: ток течёт от большего потенциала к меньшему и равен разности потенциалов, делённой на \(R\). \[I_1=\frac{\varphi_A-\varphi_C}{R}=\frac{U}{R},\quad I_2=\frac{\varphi_C-\varphi_B}{R}=\frac{-U+4U}{R}=\frac{3U}{R},\quad I_3=\frac{\varphi_A-\varphi_D}{R}=\frac{2U}{R}.\] Все три положительны для выбранных направлений: ток в \(R_1\) идёт от \(A\) к \(C\), в \(R_3\) от \(A\) к \(D\), в \(R_2\) от \(C\) к \(B\) — слева направо во всех трёх резисторах.

3. Токи в батареях. Правило узлов для узла \(C\): в него втекает \(I_1\) от \(R_1\) и ток \(I_{U1}\) от батареи \(U_1\), вытекает \(I_2\) в \(R_2\). Отсюда \(I_{U1}=I_2-I_1=\dfrac{2U}{R}\) — ток течёт через батарею снизу вверх, от «\(-\)» к «\(+\)» (батарея отдаёт энергию). Для узла \(D\): втекает \(I_3=\dfrac{2U}{R}\), вытекает \(I_{U1}=\dfrac{2U}{R}\) в батарею \(U_1\), поэтому через \(U_2\) ток \(I_{U2}=I_3-I_{U1}=0\). Для узла \(A\): вытекает \(I_1+I_3=\dfrac{3U}{R}\), это ток \(I_{U3}\) через батарею \(U_3\): он идёт по нижней ветви справа налево (внутри батареи — от «\(-\)» к «\(+\)»). Для узла \(B\) проверка: втекает \(I_2=\dfrac{3U}{R}\), вытекает \(I_{U3}=\dfrac{3U}{R}\), а через \(U_2\) нуль — сходится.

Обратите внимание: батарея \(U_2\) ток не даёт, хотя напряжение на ней \(2U\): разность потенциалов между \(D\) и \(B\) ровно такая, какую она создаёт, и ей нечего «добавлять».

Проверка. Баланс мощностей. Источники отдают \(U\cdot\dfrac{2U}{R}+2U\cdot0+4U\cdot\dfrac{3U}{R}=\dfrac{14U^2}{R}\), резисторы выделяют \(R\left[\left(\dfrac UR\right)^2+\left(\dfrac{3U}R\right)^2+\left(\dfrac{2U}R\right)^2\right]=\dfrac{14U^2}{R}\). Мощности равны, значит, токи найдены верно.

Ответ: 1) в \(R_1\) — \(U/R\), в \(R_2\) — \(3U/R\), в \(R_3\) — \(2U/R\), все слева направо; 2) через \(U_1\) — \(2U/R\) вверх, через \(U_2\) — \(0\), через \(U_3\) — \(3U/R\) справа налево по нижней ветви.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.