Шарик в колодце

Горизонтальное и вертикальное движения шарика независимы. Как часто шарик оказывается на уровне края колодца и как часто — у стенки?

\(n\,v_0\sqrt{\dfrac{2H}{g}}=k\,R\cos\alpha\) при каких-либо натуральных \(n\) и \(k\), то есть отношение \(\dfrac{v_0}{R\cos\alpha}\sqrt{\dfrac{2H}{g}}\) должно быть рациональным числом \(k/n\).

Что происходит. Силы, действующие на шарик, — тяжесть и упругие удары о стенку и дно. Горизонтальная составляющая скорости при падении не меняется, а удар о гладкую вертикальную стенку меняет только её направление, не модуль; вертикальная составляющая при ударе о дно меняет знак, модуль тоже сохраняется. Поэтому два движения независимы. Вертикальное — периодическое: шарик падает с высоты \(H\) на дно, подскакивает обратно на высоту \(H\) и так далее. Горизонтальное — с постоянной скоростью \(v_0\) по ломаной внутри окружности, звенья которой одинаковы. Шарик «выберется», если в момент, когда он вернулся на высоту края, он оказался у стенки: тогда он уже не ударяется о неё, а вылетает на поверхность с горизонтальной скоростью \(v_0\).

Обозначения. \(t_0=\sqrt{2H/g}\) — время падения с края до дна. \(\tau\) — время, за которое шарик пролетает одну хорду между двумя ударами о стенку.

1. Вертикальное движение. Шарик начинает падать с нулевой вертикальной скоростью (в точке \(A\) он движется горизонтально). Время падения до дна \(t_0=\sqrt{2H/g}\). Удар упругий, поэтому подъём до высоты края идёт столько же, и шарик оказывается на высоте края (в наивысшей точке) в моменты \(t=2nt_0\), \(n=1,2,3,\dots\) Больше ни в какие моменты шарик на высоте края не бывает.

2. Горизонтальное движение. Угол между скоростью и диаметром, проведённым в точку падения, равен \(\alpha\). Хорда, составляющая угол \(\alpha\) с диаметром, имеет длину \(2R\cos\alpha\). При упругом ударе угол падения равен углу отражения, то есть угол между скоростью и диаметром, проведённым в точку удара, остаётся \(\alpha\) (рисунок: диаметр \(OP_1\) и по обе стороны от него хорды под углом \(\alpha\)). Значит, все хорды одинаковы, а шарик у стенки оказывается в моменты \(t=k\tau\), \(k=1,2,3,\dots\), где \[\tau=\frac{2R\cos\alpha}{v_0}.\]

3. Условие выхода. Шарик на высоте края и у стенки одновременно, когда \(2nt_0=k\tau\) при каких-то натуральных \(n\) и \(k\): \[2n\sqrt{\frac{2H}{g}}=k\,\frac{2R\cos\alpha}{v_0} \quad\Longleftrightarrow\quad n\,v_0\sqrt{\frac{2H}{g}}=k\,R\cos\alpha .\] Обратите внимание: нужны оба события сразу. Если шарик у стенки ниже края, он отскакивает от неё, а если он на высоте края, но внутри окружности, то снова падает в колодец.

Иначе: число \(\dfrac{v_0}{R\cos\alpha}\sqrt{\dfrac{2H}{g}}=\dfrac{k}{n}\) должно быть рациональным.

Проверка. Размерность: \([v_0\sqrt{H/g}]=\text{м/с}\cdot\text{с}=\text{м}\), как и \([R]\). Пример для картинок: \(\alpha=30^\circ\) — шарик движется по правильному треугольнику (\(A\to P_1\to P_2\to A\)), три хорды; если \(3\tau=2t_0\) (\(k=3\), \(n=1\)), то при втором падении на высоту края он как раз вернётся в точку \(A\). Это же видно на графике: момент \(3\tau\) совпадает с моментом \(2t_0\).

Ответ: \(n\,v_0\sqrt{2H/g}=k\,R\cos\alpha\) с натуральными \(n\) и \(k\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.