Мяч в арке
5/10В арке около одной из стен стоит мальчик и бросает мяч из точки A, находящейся на высоте \(h = 170\) см над землёй. Начальная скорость мяча \(v_0 = 15\) м/с. Мяч вернулся в точку бросания спустя \(t = 3\) с, описав траекторию, показанную на рисунке. Чему равно расстояние \(D\) между стенами арки? Все соударения мгновенные и абсолютно упругие, сопротивлением воздуха пренебречь, ускорение свободного падения \(g = 10\text{ м/с}^2\).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПри упругом ударе о вертикальную стену горизонтальная составляющая скорости меняет знак, а вертикальная не меняется. Что тогда можно сказать о вертикальном движении мяча за всё время полёта?
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ\(D = \dfrac{t}{4}\sqrt{v_0^2 + 2gh - \dfrac{g^2t^2}{4}}\) (возможны и другие формы записи).
Мячи из пушки в комнате
5/10В углу прямоугольной комнаты высотой \(H = 4{,}375\) м и с расстоянием между стенками \(L = 19\) м (см. рис.) стоит теннисная пушка "— аппарат, из которого под разными углами \(\alpha\) могут вылетать теннисные мячики с начальной скоростью \(v_0 = 20\) м/c.
На каком расстоянии \(S_1\) от пушки впервые коснётся пола мяч, вылетевший из неё под углом \(\alpha_1 = 15^\circ\).
На каком расстоянии \(S_2\) от пушки впервые коснётся пола мяч, вылетевший из неё под углом \(\alpha_2 = 45^\circ\).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаУпругое отражение от стены или потолка равносильно «разворачиванию» комнаты: можно считать, что мяч летит по одной параболе, а комнату зеркально копируют. Сравните высоту подъёма и дальность полёта по параболе с размерами комнаты.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(S_1 = 18\) м; 2) \(S_2 = 10\) м.
Мяч в зале под потолком
6/10В спортивном зале высотой \(h\) бросают маленький мяч с начальной скоростью \(V_0\). Определите, какое максимальное расстояние по горизонтали может пролететь мяч после бросания до первого удара о пол, если соударение с потолком абсолютно упругое. Считайте, что мяч бросают с уровня пола. Пол и потолок горизонтальны, сопротивление воздуха пренебрежимо мало.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаБез потолка наибольшая дальность \(V_0^2/g\) достигается при угле \(45^\circ\). Проверьте, достигает ли такая траектория потолка; если да, оптимальная траектория касается потолка.
▶ОтветСкрыть: ответ
ОтветМаксимальное расстояние полёта мяча по горизонтали между двумя последовательными ударами о пол равно \[S = \frac{V_0^2}{g} \quad\text{при } V_0 \le 2\sqrt{gh}; \qquad S = 4h\sqrt{\frac{V_0^2}{2gh} - 1} \quad\text{при } V_0 > 2\sqrt{gh}.\]
Столкновения с плитами
6/10Две одинаковые массивные плиты, движущиеся в пустоте, в нулевой момент времени располагаются параллельно друг другу на расстоянии \(L = 20\) см. Скорости плит равны \(v_1 = 2022\) мм/с и \(v_2 = 1992\) мм/с и направлены перпендикулярно плитам в одну сторону (см. рисунок). В нулевой момент в пространстве между плитами покоится маленькая шайба. Столкновение шайбы с любой из плит можно считать абсолютно упругим: нормальная составляющая скорости шайбы относительно плиты в процессе столкновения меняет знак, а тангенциальная остаётся постоянной. Скорости плит при столкновениях не меняются. Гравитационным взаимодействием можно пренебречь.
(3 балла) Найдите скорость шайбы в момент времени \(t = 10^4\) c. Ответ выразите в мм/с, округлите до целого.
(3 балла) Сколько раз к моменту времени \(t = 10^4\) c шайба столкнётся с плитой, движущейся со скоростью \(v_1\)?
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПерейдите в систему отсчёта одной из плит и проследите, как меняется скорость шайбы при каждом отражении от движущейся стенки.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) 2004 мм/с; 2) 33.
Определите по фотографии
6/10На стробоскопической фотографии (см. рисунок) можно видеть положение движущегося в поле тяжести земли мяча, сталкивающегося с горизонтальной поверхностью, в разные моменты времени. Промежутки времени между двумя последовательными вспышками стробоскопической лампы одинаковы. Фотография инвертирована (чёрный цвет изменён на белый, белый заменён на чёрный), сетка наложена в графическом редакторе позже для удобства расчётов. Столкновения мяча с горизонтальной поверхностью нельзя считать упругими, в процессе столкновения кинетическая энергия поступательного движения мяча уменьшается.
5a. Далее везде в этой задаче мы предполагаем, что сила сопротивления воздуха пренебрежимо мала. Изучив фотографию, кратко объясните, насколько справедливо наше предположение?
5b. Найдите отношение \(\dfrac{v_1}{v_3}\), где \(v_1\) и \(v_3\) — скорости мяча в наивысшей точке траектории после первого и третьего ударов о поверхность соответственно.
5c. Определите как можно точнее угол между скоростью мяча сразу после первого столкновения и горизонтом.
5d. Во сколько раз изменяется кинетическая энергия мяча в процессе второго столкновения с поверхностью?
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаВ наивысшей точке скорость мяча горизонтальна и равна горизонтальному шагу между вспышками, делённому на время между ними; считайте вспышки на каждой дуге, чтобы найти время полёта.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ5b) \(\dfrac{v_1}{v_3} = \dfrac{l_1}{l_3}\cdot\dfrac{t_3}{t_1} \approx 1{,}0 \pm 0{,}1\); 5c) \(\alpha_1 \approx 81^\circ \pm 3^\circ\); 5d) \(\dfrac{E_2}{E_1} = 0{,}75 \pm 0{,}15\).
Игра в шайбу
6/10В вертикальной плоскости расположена прямоугольная рамка с жёсткими стенками. Точки \(A\) и \(B\) находятся внутри рамки так, как показано на рисунке: все расстояния до стенок, а также взаимное расположение точек следует принимать согласно масштабу рисунка. Перед началом опыта всю конструкцию (рамку вместе с точками \(A\) и \(B\)) можно повернуть в пределах одной вертикальной плоскости. После поворота рамки маленькую гладкую шайбу помещают в точку \(A\) и отпускают без начальной скорости.
Найдите все возможные ориентации рамки, при которых шайба после одного удара попадёт из точки \(A\) в точку \(B\), и для каждой из них определите угол между отрезком \(AB\) и ускорением свободного падения.
Отражение шайбы от стенок рамки считайте абсолютно упругим: угол падения равен углу отражения, скорость не изменяется по модулю.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаРазложите ускорение свободного падения на составляющие вдоль \(AB\) и перпендикулярно ему. При упругом ударе о стенку, параллельную \(AB\), продольная составляющая скорости не меняется, а поперечное движение после удара симметрично движению до удара.
▶ОтветСкрыть: ответ
ОтветТри ориентации: удар о сторону, параллельную \(AB\) и ближайшую к точкам (сторона 4 на рисунке решения), — \(\alpha_4 = \operatorname{arctg} 2 \approx 63^\circ\); удар о противоположную ей сторону 2 — \(\alpha_2 = \operatorname{arctg} 4 \approx 76^\circ\); удар о сторону 3 за точкой \(B\) — ускорение направлено вдоль \(AB\), \(\alpha_3 = 0^\circ\). Отскоком от стороны 1 попасть в \(B\) нельзя.
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеПронумеруем стороны рамки и введём координаты \(x\), \(y\) с началом в точке \(A\), направив их вдоль и перпендикулярно отрезку \(AB\).
Пусть координаты точки \(A\) равны \((0;0)\), координаты точки \(B\) равны \((L;0)\), а расстояние от точек до стороны — \(H\). Будем искать проекции ускорения свободного падения \(g_x\) и \(g_y\).
Рассмотрим движение шайбы из \(A\) в \(B\) с отскоком от стороны 4. Из уравнения движения по оси \(y\) получим, что время падения из точки \(A\) до стенки равно \(\sqrt{2H/g_y}\). После удара шайба будет лететь столько же по времени до точки \(B\). Полное время составит: \[t = 2\sqrt{\frac{2H}{g_y}}.\] По оси \(x\) шайба движется равноускоренно, так как при упругом ударе проекция скорости на ось \(x\) не меняется: \[L = g_x\frac{t^2}{2} = g_x\cdot\frac{4H}{g_y}.\] Откуда получим: \[\frac{g_x}{g_y} = \frac{L}{4H}.\]
В случае отскока от стенки 4 \(L = 2l\) и \(H = l\), где \(l\) — сторона заданной масштабной сетки. Из полученного отношения проекций ускорений легко найти направление \(\vec g\). Например, можно отметить точку \(C_1\) с координатами \((2l;\,4l)\). Тогда \(\vec g\) будет направлено вдоль прямой \(AC_1\) и, в частности, первая часть траектории шайбы будет лежать вдоль этой прямой.
Аналогично можно поступить со стороной 2. В этом случае \(L = 2l\) и \(H = 2l\), тогда ускорение свободного падения будет направлено вдоль отрезка \(AC_2\), где координаты точки \(C_2\) это \((2l;\,-8l)\).
После отскока от стороны 1 шайба не сможет попасть в точку \(B\), так как та расположена дальше точки \(A\) по оси \(x\). По тем же соображениям отражение от стороны 3 подходит. Соответствующее этому случаю направление ускорения свободного падения будет вдоль оси \(x\).
С помощью найденных в предыдущем пункте координат точек \(C_1\) и \(C_2\) вычислим углы между направлением \(AB\) и ускорением свободного падения: \[\alpha_4 = \operatorname{arctg} 2 \approx 63^\circ, \quad \alpha_2 = \operatorname{arctg} 4 \approx 76^\circ, \quad \alpha_3 = 0^\circ.\]
Мяч бьют ногой и он отскакивает от стены
3/10Мяч после удара ногой летит под 45° (60°), упруго отражается от стены и возвращается в точку старта; значит, при ударе о стену скорость горизонтальна, это вершина траектории — отсюда скорость, время полёта и расстояние до стены. (билеты 09-02, 09-03)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Мяч отражается от стенки
3/10После упругого отскока мяч пролетает над точкой старта на той же высоте; отражение в стенке превращает движение в параболу, продолжающуюся за стенкой, и даёт время полёта.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Шарик и упругая стена
5/10Шарик, брошенный под углом, упруго отражается от вертикальной стены; развёртка траектории зеркальным отражением даёт максимум по высоте и место падения, а по точке падения и модулю скорости находят угол (формула двойного угла). (варианты 1–2)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Мяч, брошенный перпендикулярно склону
5/10Мяч бросают с поверхности наклонного склона перпендикулярно ему; в осях вдоль и поперёк склона движение равноускоренное, находим время и место первого падения, затем после упругого удара — место второго падения (или скорость и положение после двух ударов). (варианты 3–4)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Теннисный мяч и упругая стенка
5/10Мяч бьёт в стенку и отражается; два броска с разными скоростями и углами попадают в одну точку стенки, поэтому горизонтальные дальности равны — отсюда высота удара, затем время и место падения после отражения (развёртка траектории). (варианты 3–4)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Мяч отскакивает от стенки, в том числе подвижной
5/10Упругий удар мяча о вертикальную стенку: высота и время до удара из геометрии траектории (отражение — продолжение параболы), затем смещение точки падения, когда стенка движется навстречу (смена скорости на стенку при ударе) (варианты 1–2).
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Шарик и наклонная плоскость
5/10Шарик падает вертикально и упруго отражается от наклонной плоскости; время между ударами 2V0/g, проекции скорости к моменту второго удара дают связь tgβ = 3·tgα, откуда угол плоскости. (варианты с разными числами)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Выстрел из пушки и отскок от плоскости
5/10Дальность броска v0² sin2α/g симметрична относительно 45°: после упругого отскока от плоскости шарик возвращается по параболе под углом 90°−α, для чего нормаль плоскости наклонена на 45°; разность высот вершин двух парабол.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Мячик сквозь кольца
6/10Мячик брошен под 45° с фиксированной скоростью и отражается от пола; он должен пролететь через два кольца на высоте H. Развернув траекторию отражением в зеркальную параболу, найти наименьшее расстояние между кольцами, отдельно для малой высоты.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Мяч и упругий удар о плоскость
6/10Зеркальное отражение от наклонной плоскости делает скорость перед ударом известного направления; векторный треугольник v, v0 и gt и закон сохранения энергии дают начальную скорость или высоту (варианты 1–4).
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Мяч и упругий удар о плоскость
6/10При упругом отражении вектор скорости зеркален относительно плоскости, что задаёт угол скорости перед ударом; векторное сложение v0 и gt вместе с энергией даёт начальную скорость или высоту (варианты 1–3).
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Падение на наклонную дощечку
6/10Тело падает с высоты H, упруго отражается от дощечки на высоте h под углом к горизонту и летит как брошенное; найти h, при которой расстояние ВС наибольшее, и само расстояние.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Дощечка под падающим телом
6/10После свободного падения тело упруго ударяется о наклонную дощечку и летит как брошенное; найти высоту дощечки с максимальной дальностью падения и саму дальность.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Шарик между двумя перпендикулярными стенками
6/10Отражения от перпендикулярных плоскостей разворачивают скорость на 180°, и шарик идёт по одной траектории туда и обратно; минимальная скорость в вершине параболы из условия касания обеих плоскостей.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Мяч от стены обратно к бросающему
7/10После упругого, но с потерей половины скорости отражения мяч должен вернуться в точку броска; ищем максимальное расстояние до стены по условию ограничения начальной скорости.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Шарик падает в скользящей коробке
7/10Коробка скользит с ускорением g sinα по гладкой плоскости, шарик падает с её верхнего края с упругими ударами о дно; найти путь коробки к 6-му удару.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Мяч в спортзале под потолком
3/10В спортивном зале мяч бросили вертикально вверх со скоростью 20 м/с (условно с поверхности пола). Определите время возврата мяча в начальную точку броска, если «высота потолка» равна 10 метрам. Ускорение свободного падения считайте равным 10 м/с\(^2\). Ответ выразите в секундах, округлите до сотых.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаБез потолка мяч поднялся бы выше 10 м. Найдите момент, когда он доходит до потолка, и что происходит со скоростью при упругом ударе о потолок.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ\(1{,}17\) с.
Шайба в коридоре со стенками
4/10Упругие удары о стенки не меняют величину скорости, а трение гасит шайбу на пути V²/(2μg); пройденное вдоль коридора расстояние — проекция этого пути, откуда наименьшая длина L (варианты 1–2: разные углы).
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Левитация
6/10Шарик упруго отскакивает от пластины, которая в моменты ударов неподвижна на высоте H и в среднем висит за счёт ударов; из равенства среднего импульса ударов весу пластины (m ≪ M) найти кинетическую энергию шарика у земли.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Отражение в полёте
6/10Шарик из катапульты отражается упруго от движущейся навстречу стенки; в системе стенки модуль скорости сохраняется. По равенству высот удара при t1=1 с и t2=2 с найти h, H, v, скорости стенки и начальное расстояние.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Шайбы и стенка
6/10Малая шайба упруго сталкивается с большой шайбой равной массы и со стенкой: после каждого удара скорости обмениваются по нормали, а в конце считаем число соударений и итоговую скорость большой шайбы (геометрия R = 7r задаёт углы).
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.