Мячик и пластинка

Скорость у пола не зависит от того, где стоит пластинка: удар упругий, а сила тяжести потенциальна. Для расстояния выберите высоту пластинки и угол отскока, найдите дальность и сначала максимизируйте её по углу, потом по высоте.

\(v=\sqrt{2gH}\approx4{,}4\text{ м/с}\); пластинку нужно поставить у самого пола под углом \(22{,}5^\circ\) к горизонту, чтобы мячик отскочил под \(45^\circ\); \(x_{\max}=2H=2\text{ м}\).

Что происходит. Мячик падает вертикально, упруго отражается от неподвижной пластинки и дальше летит как брошенное тело. Упругое отражение от неподвижной стенки меняет направление скорости, но не её модуль, а сила тяжести — потенциальная сила. Поэтому скорость у пола находится из закона сохранения энергии. Дальность зависит от высоты пластинки и от направления отскока; их выбираем так, чтобы дальность стала наибольшей.

Обозначения. \(h\) — высота точки удара о пластинку над полом, \(v_0\) — скорость мячика в момент удара о пластинку, \(\vec v_1\) — скорость сразу после отскока (направлена под углом \(\theta\) над горизонтом), \(x\) — расстояние по горизонтали от начальной точки до места падения на пол, \(\alpha\) — угол наклона пластинки к горизонту. Сопротивления воздуха нет, мячик считаем точкой.

Пункт 1. Скорость в момент удара о пол. Запишем закон сохранения механической энергии мячика между начальной точкой (скорость нулевая, высота \(H\)) и моментом удара о пол (высота нуль, скорость \(v\)). Он применим: в полёте действует только сила тяжести, а удар о неподвижную пластинку упругий, и механическая энергия при нём не теряется: \[mgH=\frac{mv^2}{2}\quad\Rightarrow\quad v=\sqrt{2gH}=\sqrt{2\cdot9{,}8\text{ м/с}^2\cdot1\text{ м}}\approx4{,}4\text{ м/с}.\] Это не зависит ни от положения, ни от наклона пластинки.

Пункт 2. Дальность при заданных \(h\) и угле отскока. До пластинки мячик падает с высоты \(H-h\), значит, по закону сохранения энергии \[v_0=\sqrt{2g(H-h)} .\] После отскока модуль скорости тот же, \(v_1=v_0\), а направление задаёт угол \(\theta\). Возьмём ось \(x\) по горизонтали и ось \(y\) вверх, начало — в точке удара. Кинематика движения под действием силы тяжести (ускорение \(g\) вниз): \[x=v_0\cos\theta\,t,\qquad y=h+v_0\sin\theta\,t-\frac{gt^2}{2}.\] Исключим время: \(t=x/(v_0\cos\theta)\), \(1/\cos^2\theta=1+u^2\), где \(u=\operatorname{tg}\theta\). Уравнение траектории \[y=h+xu-\frac{gx^2}{2v_0^2}\,(1+u^2).\] Мячик падает на пол при \(y=0\). Это уравнение для \(u\): \[\frac{gx^2}{2v_0^2}\,u^2-xu+\Bigl(\frac{gx^2}{2v_0^2}-h\Bigr)=0 .\]

Пункт 3. Наибольшая дальность при фиксированном \(h\). Дальность \(x\) достижима, только если для угла есть вещественное решение, то есть дискриминант неотрицателен: \[x^2-4\cdot\frac{gx^2}{2v_0^2}\Bigl(\frac{gx^2}{2v_0^2}-h\Bigr)\ge0 \quad\Rightarrow\quad x^2\le\frac{v_0^2}{g^2}\,(v_0^2+2gh).\] Наибольшая дальность отвечает равенству. Подставим \(v_0^2=2g(H-h)\); тогда \(v_0^2+2gh=2gH\), и \[x_{\max}(h)=\frac{v_0}{g}\sqrt{2gH}=2\sqrt{H(H-h)} .\] Угол при этом: двойной корень уравнения \(u=\dfrac{x}{2\cdot gx^2/(2v_0^2)}=\dfrac{v_0^2}{gx}\), откуда \[\operatorname{tg}\theta=\frac{v_0}{\sqrt{v_0^2+2gh}}=\sqrt{\frac{H-h}{H}} .\]

Пункт 4. Наилучшая высота пластинки. Функция \(2\sqrt{H(H-h)}\) убывает с ростом \(h\) (рис.). Значит, пластинку нужно поставить как можно ниже, у самого пола: \(h\to0\). Тогда \(\operatorname{tg}\theta=1\), \(\theta=45^\circ\), и дальность равна \[x_{\max}=2H=2\text{ м}.\]

Пункт 5. Положение пластинки. Мячик падает вертикально вниз, отскакивает под углом \(\theta\) к горизонту, то есть под углом \(90^\circ-\theta\) к вертикали вверх. Нормаль к пластинке делит угол между направлением «вертикально вверх» (обратная начальная скорость) и направлением отскока пополам, а сама пластинка наклонена к горизонту на угол, равный половине этого угла: \[\alpha=\frac{90^\circ-\theta}{2}=45^\circ-\frac{\theta}{2}.\] При \(\theta=45^\circ\) получаем \(\alpha=22{,}5^\circ\). Пластинку кладут у пола, наклонив на \(22{,}5^\circ\); мячик падает на неё вертикально над точкой старта, а летит дальше под \(45^\circ\) к горизонту.

Обратите внимание: угол \(45^\circ\) — наилучший только для пластинки на уровне пола. При \(h>0\) мячик стартует с высоты, и оптимальный угол меньше: \(\operatorname{tg}\theta=\sqrt{(H-h)/H}<1\). Наибольшая дальность достигается в пределе \(h\to0\); сама пластинка не может быть ниже пола, поэтому \(2H\) — верхняя граница, к которой можно приблизиться сколь угодно близко.

Проверка. Размерность: \(\sqrt{\text{м}\cdot\text{м}}=\text{м}\). Предел \(h=0\): мячик взлетает с пола со скоростью \(\sqrt{2gH}\) под \(45^\circ\), дальность \(v^2/g=2H\) — формула дальности броска с земли. Предел \(h\to H\): мячик отскакивает у самой начальной точки без скорости, \(x\to0\). Физический смысл: чем выше пластинка, тем меньше скорость мячика и тем ближе он упадёт.

Ответ: \(v=\sqrt{2gH}\approx4{,}4\text{ м/с}\); пластинку — у пола под \(22{,}5^\circ\) к горизонту; \(x_{\max}=2H=2\text{ м}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.