Колпак Буратино

Шар вписан в конус, поэтому его центр лежит на оси на фиксированном расстоянии от вершины. Найдите, выше этого центра или ниже находится центр масс колпака (центр масс боковой поверхности конуса лежит на двух третях высоты от вершины), и исследуйте, как меняется высота центра масс при наклоне.

Нет, не будет: центр масс колпака лежит на \(\dfrac{2H}{3}\approx13{,}3\) см от вершины, центр шара — на \(\dfrac{d}{2\sin(\alpha/2)}=15\) см, то есть центр масс выше центра шара на \(1{,}7\) см, и равновесие неустойчиво (колпак сползёт).

Что происходит. Колпак надет на гладкий шар и касается его по окружности. В положении, когда ось вертикальна, силы нормальной реакции от всех точек касания направлены к центру шара \(O\) и дают равнодействующую вдоль оси, которая уравновешивает силу тяжести. Вопрос — устойчиво ли это равновесие. Главная идея: при любом наклоне колпак остаётся вписанным вокруг шара, то есть поворачивается вокруг центра \(O\), и всё решает, выше или ниже \(O\) лежит центр масс.

Обозначения. \(P\) — вершина конуса, \(O\) — центр шара, \(C\) — центр масс колпака, \(r=d/2=7{,}5\) см — радиус шара, \(\alpha/2=30^\circ\) — половина угла при вершине. Трения нет. Колпак из тонкой жести без дна, его масса \(m\) распределена по боковой поверхности равномерно.

1. Где центр шара. В осевом сечении образующая конуса касается окружности радиуса \(r\). Радиус \(OK\) в точку касания перпендикулярен образующей, поэтому в прямоугольном треугольнике \(POK\) угол при вершине \(P\) равен \(\alpha/2\), а катет \(OK=r\): \[PO=\frac{r}{\sin(\alpha/2)}=\frac{7{,}5\text{ см}}{\sin30^\circ}=15\text{ см}.\] Расстояние \(PO\) не зависит от того, как наклонён колпак, пока он касается шара по окружности: шар по-прежнему вписан в конус.

2. Где центр масс колпака. Разобьём боковую поверхность на узкие кольца. Кольцо на расстоянии \(z\) от вершины (вдоль оси) имеет радиус, пропорциональный \(z\), ширину \(dz\) и поэтому массу, пропорциональную \(z\,dz\). Центр масс кольца лежит на оси на расстоянии \(z\) от вершины. Для всего колпака расстояние от вершины до центра масс — это сумма \(z\,dm\) по всем кольцам от вершины до основания, делённая на полную массу \(m\): \[PC=\frac{\int_0^H z\cdot z\,dz}{\int_0^H z\,dz}=\frac{H^3/3}{H^2/2}=\frac{2H}{3}=\frac{40}{3}\text{ см}\approx13{,}3\text{ см}.\] Обратите внимание: у сплошного конуса центр масс лежит на \(3H/4\) от вершины, у боковой поверхности — на \(2H/3\). Здесь именно поверхность («тонкая жесть», дна нет), поэтому \(2H/3\).

3. Центр масс выше центра шара. Центр шара находится на расстоянии \(PO=15\) см, центр масс — на \(PC\approx13{,}3\) см от вершины. Значит, \(C\) лежит на оси между \(P\) и \(O\), выше центра шара на \[OC=PO-PC=15\text{ см}-13{,}3\text{ см}\approx1{,}7\text{ см}.\]

4. Наклон колпака. Наклоним ось на малый угол \(\varphi\) от вертикали. Колпак опускается, пока снова не коснётся шара, и по пункту 1 центр \(O\) опять лежит на оси на расстоянии 15 см от вершины: колпак повернулся вокруг \(O\). Центр масс остался на оси на расстоянии \(OC\) от \(O\), поэтому его высота над точкой \(O\) стала \[y_C=OC\cos\varphi<OC .\] Центр масс колпака опустился, потенциальная энергия \(mgy_C\) уменьшилась. Значит, вертикальное положение не является минимумом энергии. То же самое видно по силам: нормальные реакции дают равнодействующую \(\vec N\), вертикальную и проходящую через \(O\), а сила тяжести приложена в \(C\) и смещена от вертикали через \(O\) на плечо \(d=OC\sin\varphi\). Момент силы тяжести относительно \(O\) равен \(mg\,OC\sin\varphi\) и поворачивает колпак ещё дальше от вертикали.

5. Вывод. Равновесие неустойчиво: малейшее отклонение растёт, и колпак соскальзывает с гладкого шара. Условие устойчивости — центр масс ниже центра шара: \(\dfrac{2H}{3}>\dfrac{r}{\sin(\alpha/2)}\), то есть \(H>22{,}5\) см. При \(H=20\) см оно не выполнено.

Проверка. Размерность: все величины — длины. Второй способ: сплошной конус той же высоты имел бы центр масс на \(3H/4=15\) см, то есть ровно в \(O\); равновесие было бы безразличным, а границей для сплошного конуса служит \(H=20\) см. У боковой поверхности масса сильнее сдвинута к вершине, чем у сплошного конуса, поэтому центр масс выше, чем у сплошного, и колпак из жести ведёт себя хуже сплошного. Физический смысл: центр масс выше центра шара — как карандаш, поставленный на острие.

Ответ: нет, колпак не будет держаться: центр масс на \(2H/3\approx13{,}3\) см от вершины, центр шара на \(15\) см, равновесие неустойчиво.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.