Стержень между стеной и поверхностью

Пусть сечение поверхности описывается функцией \(y(x)\), изображённой на рис. 184. Поскольку стержень должен в любом положении находиться в равновесии, это равновесие может быть только безразличным, т. е. центр масс стержня должен находиться на одном уровне при любом положении стержня. Если конец стержня, опирающийся на поверхность, имеет абсциссу \(x\), то ордината \(y_0\) другого его конца, касающегося вертикальной стенки, находится из условия \[l^2 = [y(x) - y_0]^2 + x^2,\qquad y_0 = y(x) \pm \sqrt{l^2 - x^2}.\] Поскольку стержень однороден, его центр масс находится в середине стержня. Полагая для определённости ординату центра масс равной нулю, получим \[[y_0 + y(x)]/2 = 0,\] отсюда \[y(x) = \pm\sqrt{l^2 - x^2}/2.\] Физический смысл имеет лишь решение со знаком минус. Итак, сечение поверхности описывается в общем случае функцией \[y(x) = a - \sqrt{l^2 - x^2}/2,\] где \(a\) — произвольная постоянная.