Равновесие двух склеенных полудисков

Запишите условие равенства нулю суммарного момента сил тяжести относительно точки касания нижнего полудиска с опорой. Массы полудисков пропорциональны квадратам радиусов.

Понятно, что равновесия при отклонении влево от положения, показанного на рисунке, нет: при наклоне влево моменты сил тяжести полудисков не компенсируют друг друга. Поэтому отклоним диски вправо, пусть диаметр образует с землёй угол \(\alpha\).

Условие равенства нулю моментов сил тяжести относительно точки касания нижнего полудиска с землёй: \[mg\gamma r\sin\alpha = m_1 g\left(\gamma R\sin\alpha - (R-r)\cos\alpha\right), \qquad \gamma = \frac{4}{3\pi},\] где \(m\) и \(m_1\) — массы малого и большого полудисков. Массы пропорциональны квадратам радиусов, поэтому \[\operatorname{tg}\alpha = \frac{R^2}{\gamma\left(R^2+Rr+r^2\right)} = \frac{3\pi}{4}\cdot\frac{R^2}{R^2+Rr+r^2}.\] При \(R = 1{,}2r\) получаем \(\operatorname{tg}\alpha \approx 0{,}93\).

Предельный переход \(R\to r\) даёт неожиданный результат: \(\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{\pi}{4}\approx 0{,}785\) (\(\alpha\approx 38^\circ\)). При этом диск однородный и мог бы занять любое положение; он займёт то положение, которое является устойчивым равновесием для бесконечно малого отличия дисков друг от друга, определяемое приведённой формулой.

При \(R\to\infty\) получаем \(\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{3\pi}{4}\approx 2{,}355\) (\(\alpha\approx 67^\circ\)). Компенсация момента большого полудиска возможна только при нулевом плече его силы тяжести относительно точки опоры: в этом пределе центр тяжести верхнего полудиска оказывается точно над точкой касания.

Все найденные равновесия неустойчивы. Если предоставить полудиски самим себе из положения, показанного на рисунке, конструкция падает влево. Поэтому отклонение вправо приводит к росту потенциальной энергии, то есть найденное положение отвечает максимуму потенциальной энергии и неустойчиво.