Проволочная пирамида с разными рёбрами

Из-за симметрии ток, втекающий в узел \(A\), делится пополам. Далее используйте равенство падений напряжения по двум путям от \(A\) до \(F\).

Пусть в узел \(A\) втекает ток \(I\). Из-за симметрии цепи в узле \(A\) он делится пополам. Пусть в узле \(B\) ток делится так: ток \(I_1\) течёт через проводник сопротивлением \(r\), ток \(I_2\) — через сопротивление \(2r\). По симметрии в узле \(C\) ток делится в той же пропорции. Тогда на участке \(DF\) течёт ток \(2I_1\), на участке \(EF\) — ток \(2I_2\).

Падение напряжения по пути \(AB\)–\(BD\)–\(DF\) равно падению по пути \(AC\)–\(CE\)–\(EF\): \[I_1 + I_2 = \frac{I}{2}, \qquad \frac{I}{2}\cdot\frac{r}{2} + I_1 r + 2I_1\frac{r}{2} = \frac{I}{2}\cdot\frac{r}{2} + I_2\cdot 2r + 2I_2\frac{r}{2}.\] Отсюда \(I_1 = \dfrac{3}{10}I\), \(I_2 = \dfrac{2}{10}I\). Напряжение между узлами \(A\) и \(B\): \[U = \frac{I}{2}\cdot\frac{r}{2} + \frac{3I}{10}\cdot r + \frac{6I}{10}\cdot\frac{r}{2} = \frac{17}{20}\,Ir,\] значит, \[R_{\text{об}} = \frac{U}{I} = \frac{17}{20}\,r.\]