Три включения реостата

Движок делит реостат на две части, \(r\) и \(R-r\). Выясните для каждой схемы, как эти части и постоянный резистор соединены между выводами.

а) \(R_0=r\) (прямая до \(R\)); б) \(R_0=\dfrac{r(R-r)}{R}\) (парабола, максимум \(R/4\) при \(r=R/2\)); в) \(R_0=\dfrac{rR}{r+R}\) (кривая от нуля до \(R/2\)).

Что происходит. Движок делит реостат на две части: левую с сопротивлением \(r\) и правую с сопротивлением \(R-r\). Для каждой схемы нужно понять, что лежит между выводами цепи, и выразить \(R_0\) через \(r\) и \(R\) (законы последовательного и параллельного соединения резисторов).

1. Эквивалентные схемы. Идём по проводам от левого вывода к правому, считая, что движок соединён с правым выводом.

В схеме а ток от левого вывода идёт по левой части реостата до движка и сразу уходит на правый вывод; правая часть реостата никуда не подключена и тока не несёт. В схеме б левый конец реостата проводом соединён с правым концом, поэтому между левым выводом и движком включены две ветви: левая часть \(r\) и правая часть \(R-r\) вместе с проводом — они соединены параллельно. В схеме в левый вывод соединён с левым концом реостата и с левым концом постоянного резистора \(R\), а правый вывод — с движком и правым концом резистора: параллельно друг другу включены левая часть \(r\) и резистор \(R\); правая часть реостата тока не несёт.

2. Формулы. \[\text{а)}\ R_0=r;\qquad \text{б)}\ R_0=\frac{r(R-r)}{r+(R-r)}=\frac{r(R-r)}{R};\qquad \text{в)}\ R_0=\frac{rR}{r+R}.\] В схеме б числитель \(r(R-r)\) — парабола с ветвями вниз, нули в \(r=0\) и \(r=R\), максимум в середине: \(r=R/2\), \(R_0=R/4\). В схеме в при малых \(r\) получаем \(R_0\approx r\) (параллельный резистор почти не мешает), при \(r=R\) имеем \(R_0=R/2\), кривая растёт всё медленнее и касательная в нуле совпадает с прямой а.

3. Графики. Строим по формулам, откладывая \(r\) от 0 до \(R\).

Обратите внимание: в схеме б сопротивление зависит от положения движка немонотонно: на краях (\(r=0\) и \(r=R\)) оно равно нулю, потому что реостат замкнут накоротко проводом.

Ответ: а) прямая \(R_0=r\); б) парабола \(R_0=r(R-r)/R\) с максимумом \(R/4\) при \(r=R/2\); в) кривая \(R_0=rR/(r+R)\), растущая от 0 до \(R/2\).

Проверка. При \(r=R\) в схеме в оба резистора по \(R\) параллельно — \(R/2\), как на графике; при \(r\ll R\) все три графика сливаются с прямой \(R_0=r\), как и должно быть при малой части реостата.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.