Картина дядюшки Поджера

Картина висит ровно, когда нить из углов касается гвоздя так, что обе части нити равны по натяжению; подумайте, при каком расположении гвоздя относительно центра картины равновесие сохраняется, если картину немного повернуть.

Рис. 1: картина находится в равновесии — моменты сил натяжения нити равны, так как \(T_1 = T_2\) и \(d_1 = d_2\).

Рис. 2, 3: картину вывели из положения равновесия, повернув вправо. Равновесие устойчиво, если момент силы \(T_2\) больше момента силы \(T_1\). Так как \(T_1 = T_2\), следовательно, \(d_2 > d_1\) — равновесие устойчивое; при \(d_2 < d_1\) — неустойчивое. Именно \(d_2 > d_1\) при угле \(\alpha > 90^\circ\) (рис. 3), а \(d_2 < d_1\) при \(\alpha < 90^\circ\) (рис. 2).

Рассмотрим крайний случай \(\alpha = 90^\circ\) (рис. 1). Здесь \(p\) — половина диагонали картины. Из подобия треугольников \[\frac{b}{2p} = \frac{a/2}{l/2}, \qquad l_{\text{кр}} = \frac{2ap}{b} = \frac{a}{b}\sqrt{a^2 + b^2}.\] Подставляя \(a = 3\) фута и \(b = 2\) фута, получаем \(l_{\text{кр}} \approx 5{,}4\) фута.