Шестигранный карандаш на наклонной плоскости

Из условия задачи следует, что коэффициент трения скольжения карандаша по наклонной плоскости удовлетворяет условию \(\mu \geqslant \operatorname{tg}\alpha\). Действительно, карандаш, положенный перпендикулярно образующей, находится в равновесии, а это означает, что \(mg\sin\alpha = F_{\text{тр}}\), где \(mg\) — сила тяжести, \(F_{\text{тр}}\) — сила трения. Но \(F_{\text{тр}} \leqslant \mu mg\cos\alpha\). Следовательно, \(mg\sin\alpha \leqslant \mu mg\cos\alpha\), откуда \(\mu \geqslant \operatorname{tg}\alpha\).

Таким образом, ни при каких значениях угла \(\varphi\) карандаш по наклонной плоскости скользить не будет.

Скатывание карандаша может начаться при таком угле \(\varphi_0\), когда вектор силы тяжести «выйдет» за пределы участка соприкосновения карандаша и наклонной плоскости (на рис. 183 этот участок заштрихован). Для нахождения этого угла спроецируем на наклонную плоскость центр масс карандаша (точку \(A\)) и отметим точку пересечения вертикали, проходящей через его центр масс, с наклонной плоскостью (точку \(B\)). Очевидно, при различной ориентации карандаша, если его центр масс остаётся на месте, точки \(A\) и \(B\) будут неподвижны, причём если сторона шестиугольного поперечного сечения карандаша равна \(2l\), то \(AB = 2l\cos30^\circ\operatorname{tg}\alpha\) (причём \(2l\cos30^\circ\) — это радиус вписанной в шестиугольное сечение окружности).

Пока точка \(B\) лежит в заштрихованной области, карандаш не будет скатываться.

Напишем условие начала скатывания карандаша: \[AD/\cos\varphi_0 = AB,\qquad\text{или}\qquad l/\cos\varphi_0 = l\sqrt3\operatorname{tg}\alpha.\] Отсюда \[\varphi_0 = \arccos(1/\sqrt3\operatorname{tg}\alpha).\] Таким образом, если угол \(\varphi\) удовлетворяет условию \[\arccos(1/\sqrt3\operatorname{tg}\alpha) \leqslant \varphi \leqslant \pi/2,\] карандаш находится в равновесии. Выражение для угла \(\varphi_0\) имеет смысл при условии \(\operatorname{tg}\alpha > 1/\sqrt3\). Тот факт, что карандаш, положенный параллельно образующей, скатывается, означает, что \(\operatorname{tg}\alpha > 1/\sqrt3\) (покажите это самостоятельно).