Столкновение протона и альфа-частицы

Пусть вначале относительно неподвижной системы отсчёта протон покоится, а \(\alpha\)-частица имеет скорость \(v_0\). Процесс их упругого соударения описывается законом сохранения импульса: \[4m\vec v_0 = m\vec v_1 + 4m\vec v_2,\] и законом сохранения энергии: \[4mv_0^2/2 = mv_1^2/2 + 4mv_2^2/2,\] где \(\vec v_1\) и \(\vec v_2\) — скорости протона и \(\alpha\)-частицы в неподвижной системе отсчёта после соударения, \(m\) и \(4m\) — массы протона и \(\alpha\)-частицы.

Рассмотрим процесс соударения этих частиц в системе центра масс, т. е. в инерциальной системе отсчёта, движущейся относительно неподвижной системы отсчёта со скоростью \[v' = 4mv_0/(m+4m) = (4/5)\,v_0\] (в числителе первой дроби стоит полный импульс системы, в знаменателе — её полная масса). На рис. 168 изображены скорость \(\vec v_0\) и скорости \(\alpha\)-частицы (вектор \(\overrightarrow{OB}\)) и протона (вектор \(\overrightarrow{OA}\)) в системе центра масс до соударения: \(OB = (1/5)\,v_0\), \(OA = (4/5)\,v_0\). Согласно закону сохранения импульса, после соударения векторы \(\overrightarrow{OB}\) и \(\overrightarrow{OA}\) скоростей \(\alpha\)-частицы и протона должны лежать на одной прямой и должно выполняться соотношение \(OB' : OA' = 1:4\) (см. рис. 168); согласно закону сохранения энергии, \(OB' = OB\) и \(OA' = OA\) (покажите!).

Скорости \(\alpha\)-частицы и протона в неподвижной системе отсчёта изображены на рисунке векторами \(\overrightarrow{OC_2} = \overrightarrow{OB'} + \vec v'\) и \(\overrightarrow{OC_1} = \overrightarrow{OA'} + \vec v'\).

Чтобы ответить на вопрос задачи, нужно определить максимально возможную длину вектора \(\overrightarrow{OC_1}\), т. е. в равнобедренном треугольнике \(OA'C_1\) необходимо определить максимально возможную длину основания при неизменных длинах боковых сторон. Очевидно, что максимум \(\overrightarrow{OC_1}\) равен \(2\cdot(4/5)\,v_0 = 1{,}6\,v_0\). Эта ситуация отвечает центральному удару.