Разматывающаяся нить

В каждый момент времени через точку касания нити с цилиндром проходит мгновенная ось вращения шарика. Это означает, что сила натяжения нити перпендикулярна скорости шарика, откуда следует, что эта сила не совершает работы. Тем самым кинетическая энергия шарика не меняется, и его скорость остаётся по модулю равной \(v\).

Чтобы найти зависимость \(l\) от \(t\), мысленно разобьём размотавшуюся к моменту \(t\) часть нити на очень большое число \(N\) малых равных кусочков длины \(\Delta l = l/N\) каждый. Пусть разматывание \(n\)-го кусочка продолжалось время \(\Delta t_n\). За это время конец нити переместился на расстояние \(v\Delta t_n\), а сама нить повернулась на угол \(\Delta\varphi_n = v\Delta t_n/(n\,\Delta l)\) (рис. 173). На этот же угол повернулся и радиус, проведённый в точку касания нити с цилиндром, т. е. \[\Delta\varphi_n = \Delta\varphi = \Delta l/r;\] отсюда \[\Delta t_n = n\,(\Delta l)^2/(vr).\] Тогда \[t = \Delta t_1 + \Delta t_2 + \ldots + \Delta t_N = \frac{1(\Delta l)^2}{vr} + \frac{2(\Delta l)^2}{vr} + \ldots + \frac{N(\Delta l)^2}{vr} = \frac{(\Delta l)^2}{vr}\,\frac{N(N+1)}{2}.\] Поскольку \(N\) велико, \[t = (\Delta l)^2N^2/(2vr) = l^2/(2vr),\qquad l = \sqrt{2vrt}.\]