Подъём стержня с пола

Рассмотрим условия равновесия стержня в тот момент, когда он наклонён к горизонту под углом \(\alpha\). Силы, действующие на стержень, изображены на рис. 181. При решении задачи удобнее всего воспользоваться равенством нулю суммы моментов сил относительно точки пересечения линий действия силы тяжести \(mg\) и приложенной человеком перпендикулярно стержню силы \(\vec F\) (точка \(O\)) — при этом моменты данных сил равны нулю.

Пусть длина стержня равна \(2l\), тогда плечо силы реакции опоры \(N\) составляет \(l\cos\alpha\), а плечо силы трения — \(l/\sin\alpha + l\sin\alpha\), и условие равновесия записывается в виде \[Nl\cos\alpha = F_{\text{тр}}l\left(\frac{1}{\sin\alpha} + \sin\alpha\right) = F_{\text{тр}}l\,\frac{1 + \sin^2\alpha}{\sin\alpha};\] отсюда \[F_{\text{тр}} = N\frac{\cos\alpha\sin\alpha}{1+\sin^2\alpha} = N\frac{\cos\alpha\sin\alpha}{2\sin^2\alpha + \cos^2\alpha} = N\frac{1}{2\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{ctg}\alpha}.\] С другой стороны, сила трения не может превышать значения \(\mu N\) — силы трения скольжения, поэтому \[\mu \geqslant \frac{1}{2\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{ctg}\alpha}.\] Это неравенство должно выполняться при всех значениях угла \(\alpha\). Следовательно, для нахождения минимального коэффициента трения \(\mu_{\min}\) необходимо найти максимум функции \((2x^2 + 1/x^2)^{-1}\), где \(x^2 = \operatorname{tg}\alpha\). Из тождества \(2x^2 + 1/x^2 = (\sqrt2\,x - 1/x)^2 + 2\sqrt2\) следует, что максимальное значение \(1/(2\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{ctg}\alpha)\) равно \(1/(2\sqrt2) = \sqrt2/4\) и достигается при \(x^2 = \operatorname{tg}\alpha = \sqrt2/2\). Таким образом, искомый минимальный коэффициент трения равен \[\mu_{\min} = \sqrt2/4.\]