Обод с лентой

Потенциальная энергия системы в начальный момент складывается из потенциальной энергии обода, равной \(mg(r+h)\), и потенциальной энергии части ленты, лежащей на наклонной плоскости, \(\rho gh^2/(2\sin\alpha)\). Полная конечная энергия системы также будет чисто потенциальной и равной ввиду отсутствия трения начальной энергии. Конечная энергия складывается из энергии обода \(mgr\) и энергии намотавшейся на него ленты. Центр масс последней будем считать совпадающим с центром масс обода. Это предположение верно, если длина намотавшейся ленты много больше длины окружности обода. Тогда потенциальная энергия намотавшейся ленты есть \[\rho\,(h/\sin\alpha + s)\,gr,\] причём длина ленты равна \(h/\sin\alpha + s\), где \(s\) — искомое расстояние, пройденное ободом от основания наклонной плоскости до точки остановки.

Из закона сохранения энергии получаем \[mg(r+h) + \rho g\frac{h^2}{2\sin\alpha} = mgr + \rho gr\left(\frac{h}{\sin\alpha} + s\right);\] отсюда \[s = \frac{mg + \rho(h/\sin\alpha)(r - h/2)}{\rho r}.\]