Маятниковые часы в лифте

Период математического маятника обратно пропорционален корню квадратному из ускорения свободного падения: \[T \sim 1/\sqrt g.\] Пусть модуль ускорения лифта равен \(a\). Тогда период маятника при движении лифта вверх с ускорением \(a\) будет пропорционален \[T_{\text{в}} \sim 1/\sqrt{g+a},\] при движении лифта вниз с ускорением \(a\) \[T_{\text{н}} \sim 1/\sqrt{g-a}.\] Ясно, что время, которое отсчитывают маятниковые часы при движении вверх с ускорением \(a\), пропорционально отношению времени \(t_{\text{в}}\) равноускоренного движения вверх к периоду \(T_{\text{в}}\): \[t_{\text{в}}' = t_{\text{в}}/T_{\text{в}} \sim t_{\text{в}}\sqrt{g+a}.\] Время, которое отсчитывают маятниковые часы при движении вниз с ускорением \(a\), равно \[t_{\text{н}}' = t_{\text{н}}/T_{\text{н}} \sim t_{\text{н}}\sqrt{g-a}.\] По условию задачи времена равноускоренного движения вниз и вверх равны: \(t_{\text{н}} = t_{\text{в}} = t_1/2\), где \(t_1\) — полное время движения лифта с ускорением. В итоге время, которое отсчитывают маятниковые часы за рабочий день, равно \[t' \approx (t_1/2)\left[\sqrt{(g+a)/g} + \sqrt{(g-a)/g}\right] + t_0.\] Здесь \(t_0\) — время движения лифта без ускорения. Неподвижные маятниковые часы показали бы время \[t \approx t_1 + t_0.\] Легко убедиться, что выполняется неравенство \(\sqrt{g+a} + \sqrt{g-a} < 2\sqrt g\). Действительно, \[\left(\frac{\sqrt{g+a} + \sqrt{g-a}}{2\sqrt g}\right)^2 = \frac{g + \sqrt{g^2 - a^2}}{2g} < 1.\] Отсюда вытекает, что маятниковые часы в лифте в среднем идут медленнее: \(t' < t\), и, следовательно, лифтёр переработает.