Три груза на нити через два блока

Рассмотрим два пути решения задачи.

1. Условия равновесия грузов имеют вид (рис. 180) \[T_1 = m_1g,\qquad T_2 = m_2g,\] \[Mg = T_1\sin\alpha_1 + T_2\sin\alpha_2,\qquad T_1\cos\alpha_1 = T_2\cos\alpha_2.\] Из этих соотношений можно найти углы, соответствующие положению равновесия системы: \[\sin\alpha_1 = \frac{M^2 - m_2^2 + m_1^2}{2Mm_1},\qquad \sin\alpha_2 = \frac{M^2 - m_1^2 + m_2^2}{2Mm_2}.\] Очевидно, что равновесие осуществимо не всегда. Действительно, для равновесия необходимо выполнение условий \(0 < \alpha_1 < \pi/2\) и \(0 < \alpha_2 < \pi/2\), т. е. \[0 < \frac{M^2 - m_2^2 + m_1^2}{2Mm_1} < 1,\qquad 0 < \frac{M^2 - m_1^2 + m_2^2}{2Mm_2} < 1.\] Из этих неравенств следует, что вся система будет находиться в равновесии лишь при выполнении условий \[M < m_1 + m_2,\qquad M^2 > |m_1^2 - m_2^2|.\]

2. Рассмотрим равновесие узла \(A\). В этом случае на него действуют три силы: \[T_1 = m_1g,\qquad T_2 = m_2g,\qquad T_3 = Mg.\] Для равновесия узла необходимо, чтобы три силы \(T_1\), \(T_2\), \(T_3\) образовали треугольник. Поскольку в треугольнике сумма длин двух сторон не меньше третьей, получим соотношение между массами \(m_1\), \(m_2\), \(M\), обеспечивающее равновесие узла \(A\): \[m_1 + m_2 > M,\qquad M + m_1 > m_2,\qquad M + m_2 > m_1.\]