Верёвка в трубопроводе

Пусть за малый промежуток времени \(\Delta t\) после начала движения верёвка переместилась на расстояние \(\Delta l\) и приобрела скорость \(v\). Так как \(\Delta t\) мало, можно считать, что \[v^2 = 2a\,\Delta l, \qquad(1)\] где \(a\) — ускорение всех точек верёвки в начальный момент времени.

Из закона сохранения энергии (трение отсутствует) следует, что \[Mv^2/2 = \Delta W_{\text{п}}, \qquad(2)\] где \(M\) — масса всей верёвки, \(\Delta W_{\text{п}}\) — изменение потенциальной энергии верёвки за время \(\Delta t\). Очевидно, что \(\Delta W_{\text{п}}\) соответствует перераспределению массы верёвки, в результате которого кусок верёвки длиной \(\Delta l\) «переходит» из точки \(A\) в точку \(B\) (см. рис. 31). Таким образом, \[\Delta W_{\text{п}} = (M/l)\,gh\,\Delta l. \qquad(3)\] Из (1)–(3) находим условие движения верёвки в начальный момент времени: \[a = gh/l.\]