Колесо на решётке

Пусть в некоторый момент времени колесо находится в одном из положений, когда его центр масс расположен над прутом и его скорость равна \(v\). В момент удара о следующий прут (рис. 171) центр масс колеса имеет некоторую скорость \(v'\), направленную перпендикулярно линии, соединяющей его с первым прутом. Эта скорость находится из закона сохранения энергии: \[mgh + mv^2/2 = mv'^2/2.\] Здесь \(h = r - \sqrt{r^2 - l^2/4} \approx l^2/(8r)\). Получаем \[v' = v\sqrt{1 + gl^2/(4rv^2)}.\]

По условию задачи (движение без подскоков) удар колеса о прут абсолютно неупругий. Это означает, что при ударе гасится проекция импульса колеса на прямую, соединяющую центр колеса с прутом. Тем самым при каждом ударе происходит потеря (переход в теплоту) энергии, равная \[\Delta W = m(v'\sin\alpha)^2/2,\] где \(\sin\alpha \approx l/r\). Чтобы скорость \(v\) оставалась постоянной, нужно, чтобы работа силы натяжения \(T\) верёвки на пути \(l\) компенсировала эту потерю энергии. Таким образом, \[Tl = \frac{mv^2}{2}\left(1 + \frac{gl^2}{4rv^2}\right)\frac{l^2}{r^2}.\] Отсюда \[T = \frac{mv^2l}{2r^2}\left(1 + \frac{gl^2}{4rv^2}\right) \approx \frac{mv^2l}{2r^2}.\]