Тело в наклонной трубе

Сложное движение тела внутри трубы в любой момент времени можно представить как суперпозицию двух независимых движений — движения вдоль оси трубы и движения по окружности в плоскости, перпендикулярной оси трубы (рис. 169). Отрыв тела от поверхности трубы скажется только на втором движении — тело не будет двигаться по окружности. Поэтому мы рассмотрим только это движение.

На тело, движущееся по окружности, действует сила \(N\) нормальной реакции со стороны стенок трубы (вектор \(\vec N\) лежит в плоскости, перпендикулярной оси трубы) и «сила тяжести» \(mg' = mg\cos\alpha\). Напишем условие движения тела по окружности: \[mg'\cos\beta + N = mv^2/r, \qquad(1)\] где \(\beta\) — угол, который составляет радиус-вектор той точки окружности, в которой в данный момент находится тело, с «вертикалью» \(y'\) (рис. 170). Чтобы тело не отрывалось от поверхности трубы, должно выполняться условие \(N = mv^2/r - mg'\cos\beta \geqslant 0\), откуда следует \[v^2 \geqslant g'r\cos\beta. \qquad(2)\] Связь скорости \(v\), с которой в данный момент движется тело по окружности, с начальной скоростью \(v_0\) найдём, воспользовавшись законом сохранения энергии: при любом значении угла \(\beta\) должно выполняться соотношение \[mv^2/2 + mg'r\cos\beta = m(v_0\sin\varphi)^2/2 + mg'r;\] отсюда \[v^2 = v_0^2\sin^2\varphi + 2g'r - 2g'r\cos\beta. \qquad(3)\] Подставив (3) в (2), найдём, при каких значениях \(v_0\) тело не оторвётся от трубы: \[v_0^2 \geqslant 3g'r\cos\beta/\sin^2\varphi - 2g'r/\sin^2\varphi.\] Поскольку это условие должно выполняться при любом значении \(\beta \in [0, 2\pi]\), окончательно имеем \[v_0^2 \geqslant g'r/\sin^2\varphi = gr\cos\alpha/\sin^2\varphi.\]