Шарики на вращающемся стержне

Обозначим через \(l_1\) и \(l_2\) длины пружин, соединяющих ось вращения с первым шариком и шарики между собой. Так как шарики движутся по окружностям, то уравнения их движения примут вид \[m\omega^2l_1 = k(l_1 - l_0) - k(l_2 - l_0),\] \[m\omega^2(l_1 + l_2) = k(l_2 - l_0);\] отсюда \[l_1 = \frac{l_0}{1 - 3m\omega^2/k + (m\omega^2/k)^2},\] \[l_2 = \frac{(1 - m\omega^2/k)\,l_0}{1 - 3m\omega^2/k + (m\omega^2/k)^2}.\] Решение имеет физический смысл, если выполняются неравенства \[1 - 3m\omega^2/k + (m\omega^2/k)^2 > 0,\qquad 1 - m\omega^2/k \geqslant 0.\] Пусть \(m\omega^2/k = x\). Так как \(m\omega^2/k > 0\), из второго условия следует \(0 < x < 1\). Первое условие даёт \[x^2 - 3x + 1 > 0,\] откуда либо \(x > (3+\sqrt5)/2 \approx 2{,}6\), либо \(x < (3-\sqrt5)/2 \approx 0{,}4\). Следовательно, область допустимых значений \(x\) есть \(0 < x < (3-\sqrt5)/2\), откуда \[\omega < \sqrt{\frac{3-\sqrt5}{2}\,\frac{k}{m}}.\]