Брусок во вращающейся сфере

Брусок движется по горизонтальной окружности радиусом \(R\sin\alpha\); запишите второй закон Ньютона в проекциях на горизонталь и вертикаль и найдите, куда должна быть направлена сила трения при каждой из угловых скоростей. Для устойчивости посмотрите, как требуемое отношение \(S/N\) меняется с углом и с \(\omega\).

а) Брусок движется по горизонтальной окружности радиусом \(R\sin\alpha\). Равнодействующая сил, действующих на брусок, направлена к центру этой окружности (рис. 7). Векторная сумма силы нормальной реакции стенки \(N\), силы трения \(S\) и силы тяжести \(mg\) равна равнодействующей: \(m\omega^2 R\sin\alpha\).

Рис. 7

Связи между горизонтальными и вертикальными составляющими: \[m\omega^2 R\sin\alpha = N\sin\alpha - S\cos\alpha ,\] \[mg = N\cos\alpha + S\sin\alpha .\] Решение системы уравнений: \[S = mg\sin\alpha\left(1 - \frac{\omega^2 R\cos\alpha}{g}\right),\] \[N = mg\left(\cos\alpha + \frac{\omega^2 R\sin^2\alpha}{g}\right).\] Брусок не соскальзывает вниз, если \[\mu_a \ge \frac{S}{N} = \sin\alpha\cdot\frac{1 - \dfrac{\omega^2 R\cos\alpha}{g}}{\cos\alpha + \dfrac{\omega^2 R\sin^2\alpha}{g}} = \frac{3\sqrt3}{23} = \mathbf{0{,}2259}.\] В этом случае нужно по меньшей мере такое трение, чтобы не допустить проскальзывания, т. е. соскальзывания вниз.

б) Если же, напротив, \(\dfrac{\omega^2 R\cos\alpha}{g} > 1\), то трение необходимо, чтобы брусок не проскальзывал вверх. Величина \(m\omega^2 R\sin\alpha\) должна быть равна равнодействующей сил \(S\), \(N\) и \(mg\). Условие для минимального коэффициента трения (рис. 8):

Рис. 8 \[\mu_b \ge \frac{S}{N} = \sin\alpha\cdot\frac{\dfrac{\omega^2 R\cos\alpha}{g} - 1}{\cos\alpha + \dfrac{\omega^2 R\sin^2\alpha}{g}} = \frac{3\sqrt3}{29} = \mathbf{0{,}1792}.\]

в) Нужно исследовать \(\mu_a\) и \(\mu_b\) как функции \(\alpha\) и \(\omega\) в случаях а) и б) (см. рис. 9а и 9б):

Рис. 9а

Рис. 9б

На рисунках: \(\omega = 5/\text{s}\) — \(\omega = 5\text{ с}^{-1}\), \(\omega = 8/\text{s}\) — \(\omega = 8\text{ с}^{-1}\) (s — с).

В случае а): если брусок смещается вверх, он возвращается обратно; если смещается вниз — не возвращается. Если \(\omega\) увеличивается, брусок остаётся в равновесии, если \(\omega\) уменьшается — соскальзывает вниз.

В случае б): если брусок смещается вверх, он там и остаётся; если брусок смещается вниз — он возвращается. Если \(\omega\) увеличивается, брусок поднимается вверх, если \(\omega\) уменьшается — брусок остаётся в равновесии.