Обруч и маятник

Кинетическая энергия обруча в каждый момент времени складывается из кинетической энергии движения центра масс обруча и кинетической энергии вращения обруча вокруг центра масс. Так как скорость точки \(A\) обруча все время равна нулю, то обе части кинетической энергии равны (скорость центра масс равна линейной скорости вращения относительно центра масс). Поэтому полная кинетическая энергия обруча равна \(mv^2\) (\(m\) — его масса, \(v\) — скорость его центра масс). Согласно закону сохранения энергии, \(mv^2 = mg(r - h_A)\), где \(h_A\) — высота центра масс обруча над точкой \(A\) в каждый момент времени. Следовательно, скорость центра масс обруча равна \(v = \sqrt{g(r - h_A)}\). В то же время скорость маятника \(B\) в момент, когда он находится на высоте \(h_A\) над осью вращения \(A\), равна \(v = \sqrt{2g(r - h_A)}\), т. е. в \(\sqrt2\) раз больше. Таким образом, маятник достигнет положения равновесия в \(\sqrt2\) раз быстрее, чем обруч, т. е. за время \[t = \tau/\sqrt2 \approx 0{,}35\text{ с}.\]