Задачи › Упругие столкновения

Шайба в движущейся коробке

  1. Шайба в движущейся коробке

    МОШ 1960/1986, 8-11 кл.
    5/10

    На столе лежит круглая коробка с внутренним диаметром \(D\), а в ней шайба радиусом \(r\) (рис. 27). Коробку как целое начинают двигать с постоянной скоростью \(v\), направленной вдоль линии центров коробки и шайбы. В момент времени \(t_0\) шайба ударяется о коробку.

    Найдите временные зависимости перемещения центра шайбы \(x_{\text{ш}}\) и её скорости \(v_{\text{ш}}\) относительно стола, начиная с момента \(t_0\) и считая все удары шайбы о коробку абсолютно упругими. Постройте графики \(x_{\text{ш}}(t)\) и \(v_{\text{ш}}(t)\). Трением между коробкой и шайбой пренебречь.

    Рисунок
    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Ответ

    Скорость шайбы относительно стола периодически (с периодом \(2(D-2r)/v\)) принимает значения \(2v\) (в течение времени \((D-2r)/v\)) и \(0\) (в течение такого же времени); перемещение центра шайбы растёт ступенчато-линейно: на интервалах движения \(x_{\text{ш}}\) растёт со скоростью \(2v\), на интервалах покоя остаётся постоянным.

    Решение

    Перейдём в систему отсчёта, связанную с коробкой. Поскольку удары шайбы о коробку абсолютно упругие, то скорость шайбы относительно коробки будет периодически менять своё направление, оставаясь равной по модулю \(v\). Нетрудно понять, что характер движения шайбы будет повторяться через время \(2\Delta t\), где \(\Delta t = (D-2r)/v\) — время пролёта шайбы от одного соударения с коробкой до следующего (центр шайбы всякий раз проходит путь \(D-2r\) со скоростью \(v\)).

    Возвращаясь в систему отсчёта, связанную с землёй, можно построить график зависимости скорости центра шайбы от времени \(v_{\text{ш}}(t)\). Располагая зависимостью \(v_{\text{ш}}(t)\), легко построить график зависимости перемещения центра шайбы от времени \(x_{\text{ш}}(t)\) (рис. 162).

    Рисунок

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх