Стальной шарик в ртути и воде

Пусть объём стального шарика равен \(V\), а объём его части, погружённой в ртуть, равен \(V_0\) до наливания воды и \(V_1\) после того, как вода полностью закроет шарик. Величина \(V_0\) находится из условия \[\rho_{\text{ст}}V = \rho_{\text{рт}}V_0,\] где \(\rho_{\text{ст}}\) и \(\rho_{\text{рт}}\) — плотности стали и ртути. Поскольку давление воды передаётся через ртуть на нижнюю часть шарика, выталкивающая сила, действующая на него со стороны воды, равна \(\rho_{\text{в}}(V - V_1)\,g\), где \(\rho_{\text{в}}\) — плотность воды, а выталкивающая сила со стороны ртути — \(\rho_{\text{рт}}V_1g\). Условие плавания шарика теперь примет вид \[\rho_{\text{ст}}V = \rho_{\text{рт}}V_1 + \rho_{\text{в}}(V - V_1),\] откуда \[V_1 = \frac{\rho_{\text{ст}} - \rho_{\text{в}}}{\rho_{\text{рт}} - \rho_{\text{в}}}\,V.\] Таким образом, отношение объёмов погружённой в ртуть части шарика в первом и втором случаях равно \[\frac{V_0}{V_1} = \frac{\rho_{\text{ст}}}{\rho_{\text{рт}}}\,\frac{\rho_{\text{рт}} - \rho_{\text{в}}}{\rho_{\text{ст}} - \rho_{\text{в}}} = \frac{1 - \rho_{\text{в}}/\rho_{\text{рт}}}{1 - \rho_{\text{в}}/\rho_{\text{ст}}}.\] Поскольку \(\rho_{\text{рт}} > \rho_{\text{ст}}\), то \(V_0 > V_1\), т. е. объём погружённой в ртуть части шарика при наливании воды уменьшится.