Свинец погружают в сосуд

Нить закреплена не на сосуде, поэтому сосуд «чувствует» свинец только через воду. Посмотрите, как изменилась сила давления воды на дно и в какой точке дна она приложена.

\(N_1'=N_1+\dfrac{Mg}{2n}\),  \(N_2'=N_2+\dfrac{Mg}{2n}\).

Что происходит. Свинец вытесняет воду, уровень в сосуде поднимается, и давление воды на дно растёт. Это давление одинаково во всех точках дна, поэтому добавка к силе, действующей на сосуд, приложена в центре дна. Расстояния \(l\) и \(L\) в ответ не войдут. Ключевой закон: давление жидкости на глубине \(H\) равно \(p_0+\rho gH\).

Обозначения. \(\rho\) — плотность воды, \(V\) — объём свинца, \(S\) — площадь дна, \(H\) — глубина воды над дном, \(F_{\text{А}}\) — сила Архимеда на свинец, \(p_0\) — атмосферное давление. Нить закреплена на перекладине, которая не связана с сосудом, поэтому нить на сосуд не действует.

1. Что вытесняет свинец. Из плотности свинца \(n\rho\) находим объём \(V=\dfrac{M}{n\rho}\). На погружённый свинец действует сила Архимеда \[F_{\text{А}}=\rho gV=\frac{Mg}{n}.\] По третьему закону Ньютона свинец давит на воду с той же силой, направленной вниз. Эта сила приложена к воде там, где висит свинец, но вода передаёт давление дальше по-своему: на следующем шаге видно, что на дно оно ложится равномерно.

2. Сила давления воды на дно. Стенки сосуда вертикальны, поэтому давление воды на стенки даёт силы только горизонтальные, и вертикальную силу на сосуд создаёт одно дно. Давление на дно везде равно \(p_0+\rho gH\), значит, вода давит на дно силой \[F=(p_0+\rho gH)S,\] которая приложена в центре дна: давление на прямоугольное дно распределено равномерно. Произведение \(HS\) — объём воды под уровнем. До погружения это объём воды \(V_{\text{в}}\), после погружения — объём воды плюс объём свинца: \(V_{\text{в}}+V\). Атмосферное давление \(p_0\) действует и снаружи, и его вклад не меняется. Отсюда добавка к силе на дно \[\Delta F=\rho g V=\frac{Mg}{n},\] приложенная в центре дна (рис.).

3. Силы в опорах. Рассмотрим сам сосуд (без воды) в равновесии. На него действуют сила тяжести сосуда, сила давления воды на дно \(F\) (вниз, в центре дна; вертикальных сил от вертикальных стенок нет) и силы реакции опор: сумма вертикальных сил и сумма моментов относительно центра равны нулю. Сила тяжести сосуда не менялась, меняется только \(F\): она выросла на \(\Delta F\). Поэтому \[N_1'+N_2'=N_1+N_2+\frac{Mg}{n}.\] Добавка \(\Delta F\) приложена в центре, её момент относительно центра равен нулю, поэтому моменты сил реакции изменились одинаково: \(N_1'-N_1=N_2'-N_2\). Тогда каждая сила выросла на половину добавки: \[N_1'=N_1+\frac{Mg}{2n},\qquad N_2'=N_2+\frac{Mg}{2n}.\] Обратите внимание: может показаться, что сосуд нагрузился «в точке, где висит свинец», и тогда силы в опорах изменились бы по-разному и зависели бы от \(l\) и \(L\). На деле сила Архимеда передаётся сосуду через давление воды на дно, а оно равномерно, поэтому \(l\) и \(L\) в ответ не входят.

Проверка. Размерность: \(Mg/n\) — сила, как и \(N_1\). Предел \(n\to\infty\) (свинец очень плотный, вытесняет ничтожный объём): \(\Delta F\to0\), силы не меняются. Предел \(n=1\) (плотность свинца равна плотности воды): \(\Delta F=Mg\), весь вес свинца переходит на сосуд — нить его уже не держит, так и должно быть. Второй способ для суммы: рассмотрим систему сосуд + вода + свинец. Нить держит теперь \(T'=Mg-F_{\text{А}}\) вместо \(Mg\), значит, опоры принимают на \(F_{\text{А}}=Mg/n\) больше, как и в формуле выше.

Ответ: \(N_1'=N_1+\dfrac{Mg}{2n}\), \(N_2'=N_2+\dfrac{Mg}{2n}\). Для свинца \(n\approx11\): каждая сила возрастает примерно на \(0{,}045\,Mg\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.