Нарастание льда на озере

Лёд растёт на нижней границе: вода там замерзает, и выделяющаяся теплота уходит вверх сквозь лёд. Запишите баланс тепла для малого прироста толщины и посмотрите, как скорость роста зависит от толщины.

\(1\) м (толщина растёт как корень из времени).

Что происходит. Под льдом вода при \(0\,^\circ\)C, а воздух наверху холоднее. Нижний слой воды замерзает, при этом выделяется теплота кристаллизации, и она уходит вверх сквозь лёд в холодный воздух. Чем толще лёд, тем хуже он пропускает тепло, поэтому рост замедляется. Главная идея — тепловой баланс на нижней границе льда за малое время \(dt\): теплота кристаллизации нового слоя равна теплоте, прошедшей сквозь весь лёд.

Обозначения. \(h\) — толщина льда в момент \(t\), \(\rho\) — плотность льда, \(\lambda\) — удельная теплота кристаллизации воды, \(\kappa\) — теплопроводность льда, \(t_{\text{в}}<0\,^\circ\)C — температура воздуха (постоянная, как сказано в условии), \(S\) — площадь поверхности.

1. Тепловой поток сквозь лёд. Нижняя граница льда имеет температуру замерзания \(0\,^\circ\)C, верхняя — температуру воздуха \(t_{\text{в}}\). Теплоёмкость льда мала по сравнению с теплотой кристаллизации: чтобы охладить килограмм льда на \(10\) К, нужно около \(21\) кДж, а при замерзании килограмма воды выделяется \(330\) кДж. Поэтому в каждый момент температура внутри слоя успевает распределиться линейно (рис.), и по закону теплопроводности Фурье мощность теплового потока сквозь лёд \[P=\frac{\kappa S\,|t_{\text{в}}|}{h}.\]

2. Откуда берётся уходящее тепло. Вода под льдом холоднее быть не может, а теплопроводность воды намного меньше теплопроводности льда, и озеро глубокое: приток тепла из глубины к границе пренебрежимо мал по сравнению с потоком вверх. Значит, всё тепло, уходящее сквозь лёд, — это теплота кристаллизации нового слоя.

3. Баланс на малом промежутке. За время \(dt\) толщина льда увеличивается на \(dh\), замерзает масса \(\rho S\,dh\) и выделяется теплота \(\rho\lambda S\,dh\). Она равна теплоте, прошедшей сквозь лёд за это время, \(P\,dt\): \[\rho\lambda S\,dh=\frac{\kappa S\,|t_{\text{в}}|}{h}\,dt \quad\Longrightarrow\quad h\,dh=\frac{\kappa|t_{\text{в}}|}{\rho\lambda}\,dt .\] Просуммируем от начала (\(h=0\) при \(t=0\)) до момента \(t\) при постоянной температуре воздуха: \[\frac{h^2}{2}=\frac{\kappa|t_{\text{в}}|}{\rho\lambda}\,t \quad\Longrightarrow\quad h^2=A\,t,\qquad A=\frac{2\kappa|t_{\text{в}}|}{\rho\lambda}=\text{const}.\] Постоянная \(A\) нам не нужна: она сокращается.

4. Толщина через 1000 часов. Для двух моментов \(h_1^2=At_1\) и \(h_2^2=At_2\), поэтому \[h_2=h_1\sqrt{\frac{t_2}{t_1}}=10\text{ см}\cdot\sqrt{\frac{1000\text{ ч}}{10\text{ ч}}}=10\text{ см}\cdot10=100\text{ см}=1\text{ м}.\] Из условия находим \(A=h_1^2/t_1=10\text{ см}^2/\text{ч}\), скорость роста \(dh/dt=A/(2h)\) падает: \(0{,}5\) см/ч при \(h=10\) см и \(0{,}05\) см/ч при \(h=100\) см (рис.).

Обратите внимание: нельзя считать рост равномерным: «\(10\) см за \(10\) ч» дало бы \(10\) м за \(1000\) ч, а такой лёд на озере не вырастает. Скорость роста падает по мере утолщения слоя, потому что тепло проходит через всё большую толщину.

Проверка. Размерность: \(A\) измеряется в \(\text{см}^2/\text{ч}\), \(h=\sqrt{At}\) — в сантиметрах. Предел \(t_2=t_1\) даёт \(h_2=h_1\). Второй способ: по табличным \(\kappa\approx2{,}2\) Вт/(м\(\cdot\)К), \(\rho\approx900\) кг/\(\text{м}^3\), \(\lambda\approx3{,}3\cdot10^5\) Дж/кг получаем \(A\approx10\text{ см}^2/\text{ч}\) при \(|t_{\text{в}}|\approx19\) К — значение того же порядка, что даёт условие, так что модель описывает реальный лёд.

Ответ: \(h_2=h_1\sqrt{t_2/t_1}=1\) м.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.