Конденсаторы и перемычка

Ток в цепи меняется со временем, но вопрос о полном заряде. Запишите, что накопили конденсаторы в конце, и выразите заряд через резистор как интеграл напряжения по времени, делённый на сопротивление.

1) \(q=\dfrac{CU_0}{3}\) (от \(A\) к \(B\));  2) \(q=\dfrac{rCU_0}{R+3r}=\dfrac{CU_0}{3+R/r}\).

Что происходит. Перед замыканием ключа конденсаторы не заряжены. После замыкания батарейка заряжает оба конденсатора, но ветви разные: сквозь резистор \(r\) заряд течёт быстрее, чем сквозь \(2r\). Перемычка (или резистор \(R\)) перекачивает часть заряда из «быстрой» ветви в «медленную». Нас интересует не ток в каждый момент, а полный заряд за всё время. Для этого достаточно двух вещей: итога (оба конденсатора заряжены до \(U_0\)) и закона Ома, записанного для заряда: заряд через резистор равен интегралу напряжения на нём по времени, делённому на сопротивление.

Обозначения. \(q_1\) и \(q_2\) — заряды, прошедшие за всё время сквозь резисторы \(r\) и \(2r\) от батарейки, \(q_{AB}\) — заряд, прошедший по перемычке (или сквозь \(R\)) от \(A\) к \(B\); \(u_1(t)\) и \(u_2(t)\) — напряжения на резисторах \(r\) и \(2r\).

1. Итог процесса. Ток в цепи прекращается, когда на резисторах напряжение исчезает, и тогда потенциалы точек \(A\) и \(B\) равны потенциалу верхнего провода. Каждый конденсатор заряжен до напряжения \(U_0\), заряд каждого равен \(CU_0\).

2. Закон сохранения заряда для каждого конденсатора. Верхняя обкладка левого конденсатора вместе с точкой \(A\) образует изолированный проводящий узел: заряд \(q_1\) пришёл через \(r\), заряд \(q_{AB}\) ушёл по перемычке, остальное накопилось. Для правого узла \(B\) — наоборот: \[q_1-q_{AB}=CU_0,\qquad q_2+q_{AB}=CU_0 .\]

3. Закон Ома для заряда. Заряд, прошедший сквозь резистор, равен интегралу тока по времени, а ток — напряжение на резисторе, делённое на его сопротивление: \[q_1=\frac1r\int u_1\,dt,\qquad q_2=\frac{1}{2r}\int u_2\,dt,\qquad q_{AB}=\frac1R\int(\varphi_A-\varphi_B)\,dt,\] где интегралы берутся от замыкания ключа до конца процесса. Потенциалы точек \(A\) и \(B\) равны \(\varphi_A=U_0-u_1\) и \(\varphi_B=U_0-u_2\) (потенциал нижнего провода принят за нуль), поэтому \(\varphi_A-\varphi_B=u_2-u_1\). Выразим интегралы напряжений через \(q_1\) и \(q_2\) и подставим: \[Rq_{AB}=\int u_2\,dt-\int u_1\,dt=2rq_2-rq_1 .\]

Пункт 1 (перемычка, \(R=0\)). Напряжение на перемычке равно нулю в любой момент, то есть \(\varphi_A=\varphi_B\) и \(u_1=u_2\). Тогда \(2rq_2-rq_1=0\), то есть \(q_1=2q_2\). Подставим \(q_1=CU_0+q_{AB}\) и \(q_2=CU_0-q_{AB}\) из п. 2: \[CU_0+q_{AB}=2CU_0-2q_{AB}\quad\Longrightarrow\quad q_{AB}=\frac{CU_0}{3}.\] Знак плюс: заряд идёт от \(A\) к \(B\), из «быстрой» ветви в «медленную». Для сравнения, через резисторы прошли заряды \(q_1=\frac43CU_0\) и \(q_2=\frac23CU_0\). Обратите внимание: напряжение на перемычке равно нулю, но ток по ней идёт — его определяет остальная цепь, а не закон Ома для самой перемычки. Нулевое напряжение лишь значит, что точки \(A\) и \(B\) всё время на одном потенциале.

Пункт 2 (резистор \(R\)). Подставим \(q_1=CU_0+q_{AB}\) и \(q_2=CU_0-q_{AB}\) в уравнение п. 3: \[Rq_{AB}=2r(CU_0-q_{AB})-r(CU_0+q_{AB})=rCU_0-3rq_{AB}.\] Отсюда \[q_{AB}=\frac{rCU_0}{R+3r}=\frac{CU_0}{3+R/r}.\]

Проверка. Размерность: \(CU_0\) — заряд. Предел \(R\to0\) даёт \(CU_0/3\), как в пункте 1 (формула п. 2 переходит в перемычку). Предел \(R\to\infty\) даёт \(0\): резистора нет, ветви независимы, и каждая заряжает свой конденсатор. Второй способ для пункта 1: потенциал общей точки \(A=B\) удовлетворяет уравнению \(2C\dot\varphi=\dfrac{U_0-\varphi}{r}+\dfrac{U_0-\varphi}{2r}\), то есть \(\varphi=U_0(1-e^{-t/\tau})\), \(\tau=\dfrac{4rC}{3}\). Ток перемычки \(i_{AB}=\dfrac{U_0-\varphi}{r}-C\dot\varphi=\dfrac{U_0}{4r}e^{-t/\tau}\), а его интеграл \(\dfrac{U_0\tau}{4r}=\dfrac{CU_0}{3}\) — тот же заряд (рис.).

Численное интегрирование уравнений цепи при \(R=r\) и \(R=3r\) даёт \(\dfrac14CU_0\) и \(\dfrac16CU_0\), как в формуле (рис.).

Ответ: 1) \(q_{AB}=\dfrac{CU_0}{3}\) (от \(A\) к \(B\));  2) \(q_{AB}=\dfrac{rCU_0}{R+3r}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.